數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)

2017-10-06 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)格的科學(xué),但它的發(fā)展從來不是一帆風(fēng)順的。由于人類對(duì)自然及自身邏輯認(rèn)識(shí)的局限性,數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷史上也曾遭遇過許多類似于出現(xiàn)測(cè)量出“黑體輻射”和“電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)”現(xiàn)象后人類無法解釋其原理的危機(jī)。本文就帶大家認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史上的三次最為重大的危機(jī)。需要說明的是,每一次危機(jī)的出現(xiàn)都意味著科學(xué)的進(jìn)步。

第一次

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

大約公元前5世紀(jì),不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為"四藝",在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為:宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比(不可通約)的情形,如直角邊長(zhǎng)均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條,導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的"危機(jī)",從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

最后,到了公元前370年,這場(chǎng)危機(jī)被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。他的處理不可通約量的方法,出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。兩個(gè)幾何線段,如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們,就稱這兩個(gè)線段是可通約的,否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對(duì)角線,就不存在能同時(shí)量盡它們的第三線段,因此它們是不可通約的。很顯然,只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制,所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明,幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān),幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示,反之卻可以由幾何量來表示出來,整數(shù)的權(quán)威地位開始動(dòng)搖,而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也表明,直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演譯推理,并由此建立了幾何公理體系,這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命!

數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)機(jī)械設(shè)計(jì)案例圖片1

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明,當(dāng)時(shí)希臘的數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到這樣的階段:

數(shù)學(xué)已由經(jīng)驗(yàn)科學(xué)變?yōu)檠堇[科學(xué);
把證明引入了數(shù)學(xué);
演繹的思考首先出現(xiàn)在幾何中,而不是在代數(shù)中,使幾何具有更加重要的地位。這種狀態(tài)已知保持到笛卡兒解析幾何的誕生。

中國、埃及、巴比倫、印度等國的數(shù)學(xué)沒有經(jīng)歷這樣的危機(jī),因而一直停留在實(shí)驗(yàn)科學(xué)。即算術(shù)階段。希臘則走上了完全不同的道路,形成了歐幾里得的《幾何原本》與亞里斯多得的邏輯體系, 而成為現(xiàn)代科學(xué)的始祖.在當(dāng)時(shí)的所有民族中為什么只有希臘人認(rèn)為幾何事實(shí)必須通過合乎邏輯的論證而不能通過實(shí)驗(yàn)來建立?這個(gè)原因被稱為希臘的奧秘。

大約在公元前370年才華橫溢的希臘數(shù)學(xué)家歐多科索斯以及柏拉圖和畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生阿契塔給出兩個(gè)比相等的定義,從而巧妙地消除了這一邏輯上的丑陋.他們給出的定義與所涉及的量是否可公度無關(guān)。其實(shí)這也是自然的,因?yàn)閮蓚€(gè)線段的比本來與第三個(gè)線段無關(guān)。當(dāng)然從理論上徹底克服這一危機(jī)還有待于現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的建立。在實(shí)數(shù)理論中,無理數(shù)可以定義為有理數(shù)的極限,這樣又恢復(fù)了畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆依賴于整數(shù)”的思想。

第二次

無窮小是零嗎?

18世紀(jì),微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用,大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年,英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》,矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題,提出了所謂貝克萊悖論。他指出:"牛頓在求Xn的導(dǎo)數(shù)時(shí),采取了先給x以增量0,應(yīng)用二項(xiàng)式(X+0)n,從中減去Xn以求得增量,并除以0以求出Xn的增量與x的增量之比,然后又讓0消逝,這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量,又令增量為零,也即假設(shè)x沒有增量。"他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零,召之即來,揮之即去,這是荒謬,"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的,直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是:沒有清楚的無窮小概念,從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚,無窮大概念不清楚,以及發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性,符號(hào)的不嚴(yán)格使用,不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。

直到19世紀(jì)20年代,一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始,到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束,中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì),基本上解決了矛盾,為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的意見的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出,必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴(yán)謹(jǐn)化的拉格朗日。為了避免使用無窮小推斷和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念,拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒式的基礎(chǔ)上。但是,這樣一來,考慮的函數(shù)范圍太窄了,而且不用極限概念也無法討論無窮級(jí)數(shù)的收斂問題。所以,拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。

到了十九世紀(jì),出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家,他們積極地為微積分學(xué)的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾。他開始將嚴(yán)格的論證引入導(dǎo)數(shù)學(xué)分析重。1816年他在二項(xiàng)展開公式的證明中,明確地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念。同時(shí)對(duì)極限、連續(xù)、變量有了較深入的理解。特別是他曾寫出《無窮的悖論》一書,書中包含許多真知灼見?？上?在他去世兩年后該書才得以出版。

分析學(xué)的奠基人,公認(rèn)為法國多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家柯西?？挛髟跀?shù)學(xué)分析和置換群理論方面做了開拓性的工作,是最偉大的近代數(shù)學(xué)家之一。他在1821年——1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列基礎(chǔ)概念的精確定義,例如,他給出了精確的極限定義,然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、無窮級(jí)數(shù)的收斂性。這些定義基本上就是我們今天微積分課本中使用的定義,不過現(xiàn)在寫得的更加嚴(yán)格一點(diǎn)。柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。柯西認(rèn)為把無窮小量作為確定的量,即使是零,都說不過去,它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量,因此本質(zhì)上它是變量,而且是以零為極限的量,至此柯西澄清了前人的無窮小的概念,另外Weistrass創(chuàng)立了極限理論,加上實(shí)數(shù)理論,集合論的建立,從而把無窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來,第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。

第三次

悖論的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī),是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的,到現(xiàn)在,從整體來看,還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支,并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。

1897年,福爾蒂揭示了集合論中的第一個(gè)悖論。兩年后,康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年,羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的,它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則:他給所有不給自己刮臉的人刮臉,并且,只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問時(shí),就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì):"理發(fā)師是否自己給自己刮臉?"如果他不給自己刮臉,那么他按原則就該為自己刮臉;如果他給自己刮臉,那么他就不符合他的原則。還有大家熟悉的“說謊者悖論”,其大體內(nèi)容是:一個(gè)克里特人說:“所有克里特人說的每一句話都是謊話?！痹噯栠@句話是真還是假?從數(shù)學(xué)上來說,這就是羅素悖論的一個(gè)具體例子。

羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界,號(hào)稱天衣無縫,絕對(duì)正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后,在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道:"一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了,即在工作完成之時(shí),它的基礎(chǔ)垮掉了,當(dāng)本書等待印出的時(shí)候,羅素先生的一封信把我置于這種境地"。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。

在描述羅素悖論之前,我們注意下面的事實(shí):一個(gè)集合或者它本身的成員,或者不是它本身的成員。

例如,抽象概念的集合本身是抽象概念,但是,所有人的集合不是一個(gè)人;所有集合的集合本身是一個(gè)集合,但是,所有星的集合不是一個(gè)星。

羅素在該悖論中所定義的集合R,被幾乎所有集合論研究者都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實(shí)雖是這樣但原因卻又是什么呢?這是由于R是集合,若R含有自身作為元素,就有R R,那么從集合的角度就有R R。一個(gè)集合真包含它自己,這樣的集合顯然是不存在的。因?yàn)榧纫猂有異于R的元素,又要R與R是相同的,這顯然是不可能的。因此,任何集合都必須遵循R R的基本原則, 否則就是不合法的集合。這樣看來,羅素悖論中所定義的一切R R的集合,就應(yīng)該是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,這就是同類事物包含所有的同類事物,必會(huì)引出最大的這類事物。歸根結(jié)底,R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了,實(shí)質(zhì)上,羅素悖論就是一個(gè)以否定形式陳述的最大集合悖論。

從此,數(shù)學(xué)家們就開始為這場(chǎng)危機(jī)尋找解決的辦法,其中之一是把集合論建立在一組公理之上,以回避悖論。首先進(jìn)行這個(gè)工作的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅,他提出七條公理,建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論,又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn),形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)(即所謂ZF公理系統(tǒng)),這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來。現(xiàn)在,我們通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論,集合是先定義了全集I,空集 ,在經(jīng)過一系列一元和二元運(yùn)算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論,使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。

承認(rèn)無窮集合,承認(rèn)無窮基數(shù),就好像一切災(zāi)難都出來了,這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。現(xiàn)代公理集合論的大堆公理,簡(jiǎn)直難說孰真孰假,可是又不能把它們都消除掉,它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以,第三次危機(jī)表面上解決了,實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。

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