結(jié)構(gòu)分析：穩(wěn)定與靜定判斷

2017-05-05 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

兩個(gè)基本假設(shè),除非特殊注明,否則都是在這兩條假設(shè)的范圍之內(nèi)。

第一條是「小變形」,也就是意味著忽略二階變形。比如一根懸臂梁,端頭受豎向荷載作用,懸臂梁向下彎曲。事實(shí)上,自由端不僅在豎向有變形,在水平向同樣也有變形。但水平變形與豎向變形相比,實(shí)在是太小,所以可以忽略。也就是,懸臂梁的自由端近似可以看作直上直下的位移,沒有水平方向的二階變形。

第二條是「線彈性」,也就是可以使用疊加原理。比如一根簡支梁,跨中承受集中荷載 P,產(chǎn)生的豎向位移為 Δ;如果再疊加上一個(gè) P,則位移也會(huì)相應(yīng)的增加一個(gè) Δ。并且,這跟一開始就直接施加一個(gè) 2P 的效果是一樣的,同樣造成 2Δ 的跨中位移。

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三種基本的支座:fix support 固定支座,在三維空間在有6個(gè)支座反力,限制了三個(gè)方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng);pin support 鉸接支座,3個(gè)支座反力,限制了三個(gè)方向的移動(dòng),但沒有限制三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng);roller support 鏈桿支座,只限制了一個(gè)方向的移動(dòng)。事實(shí)上,還有很多其它支座,空間6個(gè)自由度,可以排列組合出很多種支座形式,比如滑動(dòng)支座、兩個(gè)鏈桿組成的支座等等。

對(duì)應(yīng)于四種內(nèi)力形式,我們有四種桿端釋放,分別是彎矩釋放、剪力釋放、軸力釋放、扭矩釋放。也就是,這個(gè)釋放的部位不能傳遞相應(yīng)的彎矩、剪力、軸力、扭矩。最簡單的例子,剪刀中間的那個(gè)轉(zhuǎn)軸,就無法傳遞彎矩,把剪刀平放在桌面上,假設(shè)它運(yùn)轉(zhuǎn)良好,沒有生銹,那么你轉(zhuǎn)動(dòng)剪刀的一部分,無法讓另一部分跟著轉(zhuǎn)動(dòng)。

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我們的主要目的是判斷結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定。什么是穩(wěn)定呢?比如左上圖,就不穩(wěn)定,輕輕一推,它就從矩形變成平行四邊形了;相應(yīng)的,右上圖是穩(wěn)定的,因?yàn)槟阃扑?它已經(jīng)不會(huì)變成平行四邊形了,而是能夠有效的保持自己的幾何形狀。

同樣的,左下圖這個(gè)也不穩(wěn)定,因?yàn)槟阋煌扑?它就自己趴下去了,右邊的支座會(huì)向右滑動(dòng);而右下圖則是穩(wěn)定的,右支座不會(huì)發(fā)生水平滑動(dòng),整個(gè)體系不會(huì)發(fā)生剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。

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除了判斷穩(wěn)定與否,另一個(gè)重要的結(jié)果就是要判斷靜定與否?；镜牧鞒?第一步先計(jì)算未知數(shù)的數(shù)量 #un 和存在的方程的數(shù)量 #eq。然后判斷兩者的大小,如果 #un 比 #eq 小,則結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定;如果 #un 大于等于 #eq,則判斷結(jié)構(gòu)體系是否會(huì)發(fā)生整體或者局部的剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),換言之,是否穩(wěn)定;如果會(huì)發(fā)生剛體位移,則結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定;如果結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,則繼續(xù)判斷是否靜定,如果 #un 等于 #eq,則結(jié)構(gòu)靜定,如果 #un 大于 #eq,則結(jié)構(gòu)超靜定。

比如一根簡支梁,未知數(shù)的數(shù)量為6,分別是3個(gè)支座反力、梁的3個(gè)內(nèi)力(軸力、剪力、彎矩);存在的方程的數(shù)量也是6,分別是2個(gè)節(jié)點(diǎn)的水平力平衡、豎向力平衡、彎矩平衡。整體體系和局部都不會(huì)發(fā)生剛體位移,所以是穩(wěn)定結(jié)構(gòu);#un 等于 #eq,所以是靜定結(jié)構(gòu)。

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對(duì)于平面桁架,未知數(shù)的數(shù)量 #un 等于 1m+r,也就是每根桿件1個(gè)未知量(軸力),外加所有的支座反力;方程式的數(shù)量 #eq 等于 2j,也就是每個(gè)節(jié)點(diǎn)2個(gè)方程(水平力平衡、豎向力平衡)。

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對(duì)于平面框架,未知數(shù)的數(shù)量 #un 變成了 3m+r,也就是每根桿件3個(gè)未知量(軸力、剪力、彎矩),外加所有的支座反力;方程式的數(shù)量 #eq 等于 3j+c,也就是每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)方程(水平力平衡、豎向力平衡、彎矩平衡),外加每個(gè)內(nèi)力釋放位置的1個(gè)方程(該點(diǎn)被釋放的該項(xiàng)內(nèi)力等于0)。

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空間桁架,未知數(shù)的數(shù)量 #un 仍然是 1m+r,每根桿件1個(gè)未知量(軸力),外加所有的支座反力;方程式的數(shù)量 #eq 則變成了 3j,也就是每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)方程(x方向力平衡、y方向力平衡、z方向力平衡)。

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空間框架,未知數(shù)的數(shù)量 #un 是 6m+r,每根桿件6個(gè)未知量(軸力、y向剪力、z向剪力、y向彎矩、z向彎矩、扭矩),外加所有的支座反力;方程式的數(shù)量 #eq 則等于6j+c,也就是每個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)方程(x、y、z 方向力平衡,x、y、z 方向彎矩平衡),外加每個(gè)內(nèi)力釋放位置的1個(gè)方程(該點(diǎn)被釋放的該項(xiàng)內(nèi)力等于0)。

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左邊的例子,看上去挺「穩(wěn)定」,但其實(shí)并不穩(wěn)定,它無法承擔(dān)施加在 C 點(diǎn)的豎向荷載,整個(gè)體系沒有內(nèi)力和支座反力能夠跟這個(gè)外荷載平衡。

右邊則是一個(gè)穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的例子,未知量的數(shù)量是17,方程的數(shù)量是12,所以是5次超靜定。換言之,我適當(dāng)?shù)膭h去5個(gè)約束,這個(gè)結(jié)構(gòu)就變成了一個(gè)靜定結(jié)構(gòu),也就是圖中的懸臂梁。

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左邊的這個(gè)桁架之所以不穩(wěn)定,是因?yàn)樗鼰o法把豎向荷載傳遞到支座。如果我們?nèi)D中所示的隔離體,兩側(cè)被切斷的桿件只有水平向的軸力,沒有可以與外荷載平衡的豎向內(nèi)力。

右邊的這個(gè)同樣不穩(wěn)定,因?yàn)樗娜齻€(gè)支座反力都經(jīng)過B點(diǎn),也就是對(duì)B點(diǎn)的彎矩為0。整個(gè)系統(tǒng)的支座反力無法和外荷載造成的B點(diǎn)的彎矩平衡。

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這個(gè)桁架不穩(wěn)定是因?yàn)樗?、2桿件無法傳遞豎向荷載,如果我取右側(cè)的隔離體,左側(cè)被切斷的桿件沒有豎向內(nèi)力跟支座反力平衡。換言之,1、2桿件之間的這個(gè)平行四邊形會(huì)發(fā)生剛體形變。

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這兩個(gè)平面框架都是穩(wěn)定結(jié)構(gòu),左邊的超靜定次數(shù)是4,右邊的是7。

這個(gè)框架同樣是穩(wěn)定結(jié)構(gòu),超靜定次數(shù)是99。我們可以用 #un 和 #eq 來計(jì)算超靜定次數(shù),也可以用簡便方法,數(shù)格子的數(shù)量,每個(gè)格子的橫梁提供了3個(gè)額外約束,格子的數(shù)量乘以3,再減去缺失的約束的數(shù)量,就是總的超靜定次數(shù)。

這是個(gè)空間桁架的例子,穩(wěn)定,靜定。

空間框架的例子。如果 A、B 兩點(diǎn)同時(shí)釋放了各自的3個(gè)方向的彎矩,則 AB 桿件可以繞著自己的長軸旋轉(zhuǎn),所以結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的。如果固定了 A 的扭矩,限制住 AB 桿件繞自己長軸的旋轉(zhuǎn),則結(jié)構(gòu)變?yōu)榉€(wěn)定結(jié)構(gòu),40次超靜定。或者,共有8根橫梁,每個(gè)橫梁提供了6個(gè)額外的約束,8乘以6等于48,再減去 A 釋放的2個(gè)約束、B 釋放的3個(gè)約束、右下角支座釋放的3個(gè)數(shù)月,就等于40個(gè)額外約束,也就是40次超靜定。

這是一個(gè)平面桁架-框架的混合結(jié)構(gòu)?？梢援?dāng)作一個(gè)框架來處理,桁架桿件看作桿端彎矩釋放之后的框架桿件。注意,每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)該至少與一個(gè)桿件相連,否則作用在桿件上的彎矩?zé)o法傳遞。比如中央的下弦桿件,內(nèi)力釋放是2個(gè),而不是3個(gè)。如果與之相連的3個(gè)桿件的桿端彎矩都釋放了,作用在這個(gè)節(jié)點(diǎn)的外荷載彎矩就無法平衡了。

判斷穩(wěn)定與否,是結(jié)構(gòu)分析的第一步,至少在這門課程里是不接受不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的。

判斷靜定與否,是結(jié)構(gòu)分析的第二部,決定了我們可以采用哪種方法來求解內(nèi)力和變形。

接下來,我們將要關(guān)注的是靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力求解。

作者:豬小寶

來源:知乎(https://zhuanlan.zhihu.com/p/19640588)

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