有限元技術：現(xiàn)代力學與計算機

20世紀60年代以來,力學進入新的時代──現(xiàn)代力學時代,由于電子計算機的飛躍發(fā)展和廣泛應用,由于基礎科學和技術科學各學科間相互滲透和綜合傾向的出現(xiàn);以及宏觀和微觀相結合的研究途徑的開拓,力學出現(xiàn)了嶄新的面貌。

計算機的沖擊

電子計算機自1946年問世以后,計算速度、存儲容量和運算能力不斷提高,過去力學工作中大量復雜、困難而使人不敢問津的問題,因此有了解決的門路。計算機改變了力學的面貌,也改變了力學家的思想方法。

有限差分方法很早被用于強爆炸沖擊波計算,還隨著出現(xiàn)了人工粘性、激波裝配等克服間斷性困難的辦法。1963年J.E.弗羅姆和F.H.哈洛成功地計算了長方形柱體的繞流問題,給出柱體尾流渦街的形成和隨時間的演變過程,并以《流體力學中的計算機實驗》為題作了介紹,這一事件被看作是Link title計算流體力學興起的標志。

彈塑性動力學問題也用差分法作了有效的計算。在計算的實踐中還創(chuàng)立了很多新概念,從運用傳統(tǒng)的拉格朗日方法和歐拉方法等算法,發(fā)展到在差分格子里討論質量、動量和能量的輸運和均衡,建立了所謂離散力學。

最令人鼓舞和驚嘆的還是60年代有限元法的興起。有限元法發(fā)源于結構力學。一個連續(xù)體結構經(jīng)離散化為桿件(有限元)的組合后,計算機可以輕巧地對這種復雜桿件系統(tǒng)作出計算。有限元法一出現(xiàn)就顯示出無比的優(yōu)越性,它迅速的占領了整個彈性靜力學。

經(jīng)過一段關于有限元法的數(shù)學基礎和收斂性問題的深入討論之后,認清了有限元法和變分原理的關系。力學家們自覺地以各種變分原理為基礎建立了不同形式的桿元、板元、殼元、夾層板元、三維應力元、半無限元、奇異元、雜交元等,發(fā)揮了有限元法的巨大威力。

隨后它又沖出彈性靜力學的范圍,被廣泛應用于彈性動力學、瞬態(tài)分析、塑性力學、流場分析,并向傳熱學、電磁場等非力學領域滲透,顯示了極為光輝的前途。

孤立子和混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)是計算機給力學以深刻影響的兩個突出的例子。非線性波的研究在水波、氣體和等離子體中的沖擊波和彈塑性波等領域中受到重視。1965年N.J.扎布斯基和K.D.克魯斯卡爾利用計算機對淺水波的KdV方程進行數(shù)值積分,發(fā)現(xiàn)在直線上行進的孤立波碰撞前后的形狀相同,具有粒子的性質。這一發(fā)現(xiàn)和后繼的研究使非線性波理論煥然一新,應用范圍遍及大氣、洋流、晶格力學,以至非線性光學和粒子物理學等。

混沌現(xiàn)象的最早例子是E.N.洛倫茨1963年在研究大氣對流問題時通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)的,這件事說明在確定性系統(tǒng)中也可出現(xiàn)類似隨機的過程,這是有序向無序的一種演化過程,是非線性動力學中一個令人驚異的現(xiàn)象。混沌和有關的奇怪吸引子理論的一些結果沖擊了數(shù)學、物理學的許多分支。例如湍流問題是流體力學中長斯存在的難題,分岔和混沌模型結合在實驗中發(fā)現(xiàn)的擬序結構,使這個難題的解決似乎有了新的希望。

計算機驚人的運算能力和對介質的力學性能不甚清楚之間的矛盾,推動了對材料本構關系的深入研究。計算機又使力學實驗方法現(xiàn)代化,實驗數(shù)據(jù)的采集整理可以借助微型計算機自動實現(xiàn)。計算機甚至可部分地代替某些常規(guī)實驗。

滲透和綜合

航天工程開辟了人們的視野,現(xiàn)代力學以遠遠超過牛頓時代的水平再度向天文學滲透。人們用磁流體力學研究太陽風在地球磁場中形成的沖擊波,用流體力學結合恒星動力學研究密度波,以解釋旋渦星系的螺旋結構,以至用相對論流體力學來研究星系的演化。

航天任務基本實現(xiàn)之后,60年代起許多力學家開始轉向新的力學生長點。由馮元楨等奠基創(chuàng)建的生物力學就是一個科學滲透的顯著例子。多年來的研究使人們認識到:“沒有生物力學,就不能很好地了解生理學?！鄙锪W在考慮生物的形態(tài)和組織的基礎上,測定生物材料的力學性質,確定本構關系,再結合力學基本原理解決邊值問題,這些已在定量生理學、心血管系統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學工程方面取得不少成就。

現(xiàn)代力學又向地球科學滲透,在板塊動力學、構造應力場、地震預報以及用反演法闡明震源機制、地層結構和地質材料性質方面進行新的探索,并推動巖石力學的研究。

在工程技術方面,如能源開發(fā)、環(huán)境保護、材料科學、海洋工程、安全防護等綜合技術都提出多種多樣力學新課題。因此現(xiàn)代力學都必須和別的學科相結合,發(fā)展邊緣學科解決這些問題。在機器人控制和衛(wèi)星姿態(tài)控制研究中的多剛體系統(tǒng)動力學問題就需要用由力學和控制反饋理論相結合的方法進行研究。

力學向外滲透的同時,在力學內部也出現(xiàn)了綜合的傾向。從19世紀力學分為三大支以后,每個分支到20世紀又進一步分化,積累了大量資料,因而提出了概括和提高的任務,需要在統(tǒng)一的基礎上把各個分支學科綜合起來。

在50年代出現(xiàn)了以C.特魯斯德爾為代表的理性力學學派,他們重新檢核了連續(xù)介質力學和熱力學的基礎,在1958年由W.諾爾提出以確定性原理、局部作用原理和材料的標架無關性原理作為三條公理,按照過去達朗伯關于理性的力學必須建立在顯然的公理上的思想,運用演繹的方法推導出彈性和粘性等簡單物質的本構關系。

在60~70年代,公理系統(tǒng)續(xù)有擴大,經(jīng)統(tǒng)一處理的理想材料包括粘彈性和塑性等記憶材料,具有微結構的有向材料,非局部作用模型、混合材料以及熱-力耦合材料等。在統(tǒng)一處理材料本構關系的同時,理性力學學派還綜合討論了各種介質應共同遵守的通有原理和共有的現(xiàn)象和方法如波動、穩(wěn)定性、變分方法等。

錢學森指出,理性力學就是連續(xù)介質力學的基礎理論,它的任務是審核復雜物性物質或材料的基本方程是否和熱力學、力學基本原理相容,因而有重要的實際意義。

宏觀和微觀相結合

從構成物質的微觀粒子(如分子、原子、電子)或者細觀結構(如晶粒、分子鏈)的性質及其相互作用出發(fā)來確定材料的宏觀性質(如本構關系中的彈性系數(shù)、松弛函數(shù)、熱導率、比熱),或者解釋變形或破壞的機制等等,從40年代到50年代已積累了大量結果。用統(tǒng)計力學方法處理氣體的平衡問題已較成熟,但對液體和固體的問題,以及非平衡過程方面的問題則很差。

在40年代用統(tǒng)計力學處理高分子材料的分子網(wǎng)絡,得到的貯能函數(shù)和用非線性彈性理論所得到的非常接近。這個結果令人鼓舞,但限于彈性范圍。1936年G.I.泰勒提出的金屬中的位錯假說,50年代已被實驗證實,并在60年代發(fā)展成位錯動力學。用位錯參數(shù)表達的奧羅萬應變率公式已經(jīng)通過“內變量”的橋梁進入宏觀的本構關系,溝通了宏觀和微觀的關系。

材料中往往存在大量裂紋、損傷或裂隙,使連續(xù)介質發(fā)生間斷并影響其力學性能。位錯理論和斷裂力學分別從微觀和宏觀的角度突出了缺陷材料性能的重要性,兩者之間有密切聯(lián)系。斷裂力學在60年代迅速發(fā)展,改變了對強度安全設計和材料評價的傳統(tǒng)看法。

宏觀和微觀的溝通還表現(xiàn)在某些觀點上。19世紀統(tǒng)計力學建立以來,經(jīng)典力學中的確定論和統(tǒng)計力學中的隨機論一直是截然不同的兩種觀點。60~70年代力學和物理學中對混沌現(xiàn)象的研究說明,經(jīng)典力學系統(tǒng)自身具有內在的隨機性。人們又得重新估計經(jīng)典力學和統(tǒng)計力學之間的聯(lián)系。

幾千年來人類對物質機械運動即力學規(guī)律的認識,經(jīng)歷了由淺入深、由表及里的過程?？茖W的發(fā)展總的說來是既有綜合又有分析,但在特定的階段可能有所側重。

自然科學最早是統(tǒng)一的無所不包的自然哲學,以后物理學從其中分出來,力學又從物理學中分出來,后來力學出現(xiàn)分支學科,再派生出新的分支學科,與此同時還出現(xiàn)綜合的傾向。

有一種觀點認為,當代自然科學的總趨勢是由交叉學科、邊緣學科發(fā)展成為綜合性更強的科學。如果真是這樣,力學未來的面目也許很不同于今天。然而有一點則是肯定的,人們對物質世界的認識總是在原先積累的基礎上進一步深化。無數(shù)相對真理的總和,就是絕對真理。