搜索一階迎風(fēng)格式vs二階迎風(fēng)格式：兩者的精度差別有多大？
2017-08-15 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
FLUENT提供了好幾種空間離散格式,最常用的有“一階迎風(fēng)格式”(First Order Upwind)和“二階迎風(fēng)格式”(Second Order Upwind)。很多資料上都介紹二階迎風(fēng)格式的精度比一階迎風(fēng)格式高,但是,二階迎風(fēng)格式的計(jì)算精度究竟比一階迎風(fēng)格式高多少呢?
我們來看一個(gè)算例。這是經(jīng)典的二維方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)流動(dòng)(圖1)。計(jì)算域是一個(gè)正方形,邊長是a;上邊界是移動(dòng)壁面,以速度U向左運(yùn)動(dòng);其余三個(gè)邊界是固定壁面。正方形的內(nèi)部充滿流體,其密度為ρ,粘性系數(shù)為μ。流動(dòng)雷諾數(shù)定義為Re=ρUa/μ。這里計(jì)算雷諾數(shù)Re=1000的情形,流態(tài)為層流。
圖1二維方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)流動(dòng)
分別使用四種密度的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算:32×32、64×64、128×128以及256×256。(圖2)每種網(wǎng)格分別使用一階迎風(fēng)格式和二階迎風(fēng)格式計(jì)算。
(a) 32×32
(b) 64×64
(c) 128×128
(d) 256×256
圖2網(wǎng)格
為了避免收斂標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)定對計(jì)算結(jié)果的影響,計(jì)算時(shí)將收斂準(zhǔn)則(Convergence Criterion)設(shè)為“none”并一直算到殘差不再下降為止,這樣收斂精度就由機(jī)器精度決定。(圖3)我們采用雙精度求解器,其機(jī)器精度大約有16位有效數(shù)字,因此收斂精度極其高,可以認(rèn)為收斂誤差對計(jì)算結(jié)果沒有影響,或者說計(jì)算結(jié)果的誤差都是由離散格式的誤差導(dǎo)致的。
圖3 ConvergenceCriterion
流動(dòng)的基本物理圖畫如圖4的流線所示。由于頂蓋的驅(qū)動(dòng)作用,方腔內(nèi)形成了一個(gè)大旋渦。另外,在左下角和右下角各存在一個(gè)較小的二次漩渦。
圖4流線(復(fù)制自[2])
我們使用文獻(xiàn)[1]、[2]的高精度數(shù)值解作為參考基準(zhǔn)。文獻(xiàn)[1]的結(jié)果是使用二階精度的渦量—流函數(shù)方法再加上Richardson外推方法獲得的,文獻(xiàn)[2]則使用了譜方法;兩者的計(jì)算結(jié)果吻合,其精度大約為7位有效數(shù)字。文獻(xiàn)[1]給出了散布在正方形內(nèi)的115個(gè)點(diǎn)處的速度值。我們將FLUENT算出的這115個(gè)點(diǎn)的速度的水平分量和文獻(xiàn)[1]的結(jié)果相減,得到115個(gè)誤差值e1, e2, e3,…, e115,然后分別用兩種方法來衡量整體的誤差;第一種是使用2-范數(shù):
第二種是使用∞-范數(shù):
即從115個(gè)誤差值的絕對值里面找出的最大值。這兩種方法是衡量算法的精度的常用方法。
FLUENT的整體計(jì)算誤差的分析結(jié)果如表1所示。
表1 FLUENT的計(jì)算誤差
(a)一階迎風(fēng)格式
(b)二階迎風(fēng)格式
可以看出,對于二階迎風(fēng)格式,當(dāng)網(wǎng)格密度超過64×64之后,隨著網(wǎng)格的加密呈現(xiàn)出的規(guī)律是,網(wǎng)格尺寸每變?yōu)樵瓉淼?/2,則計(jì)算誤差變?yōu)樵瓉淼?/4。也就是說,其計(jì)算誤差是正比于網(wǎng)格尺寸的平方的。對于這樣的計(jì)算精度,我們稱之為“二階精度”。“二階迎風(fēng)格式”之所以稱為“二階”,就是因?yàn)樗哂卸A精度。
而對于一階迎風(fēng)格式,網(wǎng)格尺寸每變?yōu)樵瓉淼?/2,計(jì)算誤差也變?yōu)樵瓉淼?/2。也就是說,計(jì)算誤差正比于網(wǎng)格尺寸的一次方。這樣的計(jì)算精度稱為“一階精度”。由此看來,一階迎風(fēng)格式的精度比二階迎風(fēng)格式差很多。從誤差的絕對大小也可以看出這一點(diǎn):一階迎風(fēng)格式在256×256網(wǎng)格上的計(jì)算誤差比二階迎風(fēng)格式在128×128網(wǎng)格上的誤差還要大。
由于一階迎風(fēng)格式的精度比二階迎風(fēng)格式差很多,所以一階迎風(fēng)格式只是在剛開始計(jì)算的時(shí)候?yàn)榱烁纳品€(wěn)定性(防止計(jì)算發(fā)散)才用到的,而不應(yīng)該用在最終的計(jì)算結(jié)果上。
事實(shí)上,由于一階迎風(fēng)格式的計(jì)算誤差太大,結(jié)果往往不可靠,所以不少期刊已經(jīng)明確地要求作者在對流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),至少使用具有二階精度的空間離散格式。例如,AIAA(美國航空航天協(xié)會(huì))在其“Editorial Policy Statement on Numerical and Experimental Accuracy”中就對其出版的期刊有如下要求:
“Numerical methods for solving PDEs should be at least formally second-order accurate in space for spatially smooth solutions.”
(全文鏈接:https://www.aiaa.org/EditorialPolicyStatement/)
空間離散格式的精度可以用導(dǎo)函數(shù)的近似計(jì)算來理解。我們知道,描述流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程組里面含有很多空間導(dǎo)數(shù),比如說方程組的對流項(xiàng)里面就含有速度對空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。在計(jì)算流體力學(xué)中,這些空間導(dǎo)數(shù)是用離散的網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值來近似計(jì)算的。我們可以設(shè)想一個(gè)一元函數(shù)y=f(x),網(wǎng)格尺寸為h,如圖5所示,
圖5導(dǎo)函數(shù)的近似計(jì)算
如果我們采用x0和x0+h這兩點(diǎn)上的函數(shù)值來近似計(jì)算x0處的導(dǎo)函數(shù)
(1)
其誤差是多少呢?這可以通過泰勒級(jí)數(shù)展開分析出來。在x0處對f(x)做泰勒級(jí)數(shù)展開,可以得到
(2)
通過簡單的推導(dǎo)可以得到
(3)
一般情況下,f(x)的二階導(dǎo)數(shù)是不等于零的。所以,容易看出,使用式子(1)來近似計(jì)算導(dǎo)函數(shù),其誤差是正比于網(wǎng)格尺寸h的一次方的。這就是所謂的具有“一階精度”的格式。如果我們需要更高的計(jì)算精度,可以使用更多的離散點(diǎn),比如說計(jì)算x0處的導(dǎo)函數(shù)的時(shí)候,同時(shí)使用x0、x0+h以及x0+2h這三個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值,這樣計(jì)算誤差就正比于網(wǎng)格尺寸的平方,達(dá)到“二階精度”。
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參考文獻(xiàn)
[1] http://www.acenumerics.com/the-benchmarks.html
[2] O. Botella and R. Peyret. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow. Computers and fluids, 27 (1998)
[3] Odus R. Burggraf. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows. Journal of fluid mechanics, 24 (1966)
[4] Ann S. Almgren, John B.Bell, Phillip Colella, Louis H. Howell, and Michael L. Welcome. A Conservative Adaptive Projection Method for the Variable Density Incompressible Navier-Stokes Equations. Journal of computational physics, 142 (1998)
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