無(wú)風(fēng)不起浪——談?wù)劜ɡ耸侨绾斡娠L(fēng)引起的

2017-05-04  by:CAE仿真在線  來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

俗話說(shuō)“無(wú)風(fēng)不起浪”。是說(shuō)風(fēng)在水面上拂過(guò)才引起水面的波浪。所以南唐馮延巳有詞說(shuō):“風(fēng)乍起,吹皺一池春水”。南唐馮延巳的詞是說(shuō)的微風(fēng)的情形,而且風(fēng)是“乍起”,即風(fēng)吹的時(shí)間不很長(zhǎng),所以只是把水面吹皺。如果風(fēng)速很大,風(fēng)吹的延續(xù)時(shí)間又很長(zhǎng),還能夠在江河湖海里掀起驚濤駭浪、翻江倒海。有紀(jì)錄顯示,臺(tái)風(fēng)引起的海浪起伏高度竟可達(dá)32米。大約有10層樓高!

圖1 風(fēng)乍起,吹皺一池春水

圖2 驚濤駭浪

從人們的直覺(jué)來(lái)看,似乎是由于風(fēng)吹過(guò)水面時(shí)空氣與水面的摩擦力把水帶動(dòng)引起的波浪。其實(shí),沒(méi)有那樣簡(jiǎn)單。因?yàn)橐悄菢拥脑?既然風(fēng)與水之間的摩擦力,作用在水平面上,總是水平地沿著水平面并指向風(fēng)吹的方向的,所以風(fēng)的作用只能帶動(dòng)表面的水隨著風(fēng)的方向流動(dòng),而不會(huì)掀起那樣垂直于水面起伏的波浪。所以實(shí)際情況和這種直覺(jué)并不符合。那么,水到底是怎樣掀起波浪的呢?

這個(gè)問(wèn)題有許多人進(jìn)行過(guò)研究,有的主要考慮風(fēng)對(duì)水面的法向應(yīng)力[3],當(dāng)然也有的主要考慮切向應(yīng)力[4]。還有的用數(shù)值方法來(lái)求解。迄今也很難說(shuō)有一個(gè)公認(rèn)的結(jié)論。

我們這里利用比較簡(jiǎn)單的力學(xué)模型來(lái)進(jìn)行定性的討論。

先來(lái)看一種情形,如圖設(shè)粗線代表已經(jīng)有一個(gè)波浪的水面。風(fēng)是從左邊吹來(lái)的。設(shè)想與水面有一定距離的地方,在虛線所畫(huà)的那個(gè)高度上風(fēng)速已經(jīng)是均勻的了。并且設(shè)想風(fēng)是吹過(guò)由水面與虛線組成的洞體的。顯然,水面高處A,洞體的截面比起水面低處B的截面要小,所以A處的風(fēng)速要比B處的風(fēng)速大。

圖3 風(fēng)與水面作用的示意圖

流體力學(xué)中有一個(gè)很重要的定律,就是伯努利定律。這個(gè)定律說(shuō),在一條流線上,流體質(zhì)點(diǎn)的速度與在這點(diǎn)的壓強(qiáng)成反比。也就是速度愈大壓強(qiáng)愈小。更具體地說(shuō)是沿著一根流線,我們?cè)O(shè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度為v密度為ρ,這點(diǎn)的壓強(qiáng)為p,它們之間有關(guān)系

從這個(gè)定律可以看出,流體速度大的地方,壓強(qiáng)要小,速度小的地方壓強(qiáng)要大。也就是一般地可以說(shuō),既然在水面高處風(fēng)的流速比低處大,那么在水面高處相對(duì)于平均壓強(qiáng)來(lái)說(shuō)是負(fù)值,而水面低處取正值。

這就是說(shuō),在有風(fēng)的情況下,只要是水面有了起伏,水面高的地方受一個(gè)向上的吸力,而低的地方受一個(gè)向下的壓力。

在沒(méi)有風(fēng),也沒(méi)有別的擾動(dòng)的情形下,水面的自然平衡狀態(tài)是水平的。如果有一個(gè)擾動(dòng),使水面的一個(gè)地方鼓起來(lái)了,像下圖,中心滴進(jìn)一滴水。這時(shí),在重力作用下,鼓起的地方就要向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)鼓起的地方達(dá)到水平面時(shí),由于向下運(yùn)動(dòng)的慣性,那些質(zhì)點(diǎn)還會(huì)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng),直到把原來(lái)鼓起來(lái)的地方向下形成一個(gè)坑。這地方形成了坑,原來(lái)這地方的水質(zhì)點(diǎn)便會(huì)被擠到四周,使得四周高起來(lái)。這時(shí),四周高起來(lái)的地方又在重力作用下回落,又要形成一圈環(huán)狀的坑,原來(lái)坑的地方又會(huì)向上運(yùn)動(dòng)鼓起來(lái)。就是說(shuō),原來(lái)鼓起來(lái)的地方的水質(zhì)點(diǎn),會(huì)不斷上下運(yùn)動(dòng),而周?chē)阈纬刹?一圈一圈往外傳。隨著波的運(yùn)動(dòng)能量往外傳,再加水內(nèi)部的粘性,運(yùn)動(dòng)的振幅逐漸衰減下來(lái)趨于平靜,水面又回復(fù)水平的平衡狀態(tài)。

圖4 水滴引起的波浪

圖5 波浪起伏時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

圖5表示在小振幅的波浪,或者說(shuō)在線性化表面波理論之下,液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。它們都在沿著一個(gè)近似圓的軌跡運(yùn)動(dòng)。在質(zhì)點(diǎn)處于液體愈深則圓半徑愈小,切逐漸變?yōu)闄E圓。

現(xiàn)在,我們考慮平靜的水平面上有風(fēng)吹來(lái)。從前面討論,我們看出,只要水面有任何的輕微擾動(dòng),亦即當(dāng)水平面有任何一點(diǎn)小的高低不平,于是高的地方就受一個(gè)向上的吸力,低的地方就受一個(gè)向下的壓力。水面的任何地方都在上下運(yùn)動(dòng),隨著上下運(yùn)動(dòng),同一個(gè)地方一會(huì)凸起,一會(huì)凹下去,凸起來(lái),風(fēng)就向上吸,凹下去風(fēng)就向下壓。不過(guò),由于凸面不管是在上升還是下降都向上吸,凹面也是不管是上升還是下降都是向下壓,所以這種情況下并不會(huì)有能量輸入。水面的波動(dòng)也不能夠保持。

現(xiàn)在我們要問(wèn),當(dāng)水面經(jīng)過(guò)微小的擾動(dòng)凸起來(lái)后,怎樣的風(fēng)速能夠使這個(gè)凸起維持?顯然,如果風(fēng)速比能夠維持水面凸起略微大一點(diǎn),因?yàn)橥蛊鸬牡胤绞茱L(fēng)的作用向上吸,凹面受風(fēng)的作用向下壓,波浪就會(huì)維持和繼續(xù)升高。為此,我們做下面的簡(jiǎn)單估算:

考慮圖3上的A點(diǎn),大氣的密度為ρ,風(fēng)速為v;我們還由小振幅重力波理論知道,水面上A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以R為半徑的圓,不妨設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén),我們知道水的密度是1000 kg/m3,重力加速度為g,A點(diǎn)的速度是2πR/T顯然質(zhì)點(diǎn)A所受慣性力和風(fēng)力與重力相平衡的條件,即風(fēng)對(duì)A點(diǎn)向上吸力加上A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向上的慣性力應(yīng)當(dāng)和A點(diǎn)所受的重力相平衡,這就是:

密度用ρ=1.29kg/m3代入,近似用g=10m/s2,π2=10代入,就近似得到。

由于式中左邊為正,所以右端必須有R/T<0.25,即R<0.25T,否則在無(wú)風(fēng)的條件下,A處的質(zhì)點(diǎn)會(huì)自動(dòng)跳離水面,這當(dāng)然是不可能的。在實(shí)際情況,水面的微小擾動(dòng),可以有不同的R和不同的T,這對(duì)應(yīng)于不同的波長(zhǎng)與周期。于是可以看出,當(dāng)R/T與0.25很接近時(shí),很小的風(fēng)速就能夠使微擾動(dòng)的水面凸起不再下落。

上面我們是對(duì)于水面上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)微小擾動(dòng)后所受的重力、風(fēng)力和慣性力來(lái)討論,他被風(fēng)“掀起”的條件?，F(xiàn)在我們換一個(gè)角度來(lái)討論風(fēng)壓對(duì)這個(gè)被擾動(dòng)后的液面所做的功。

設(shè)在傳播中的波面的表達(dá)式為:

其中y是波表面質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于水平面的高度,T是周期,l是波長(zhǎng),A是波幅。

我們知道,力乘物體的速度,就是力做功的功率。現(xiàn)在我們來(lái)考慮空氣壓力作用在行波面上做功的功率。為此,我們計(jì)算上下運(yùn)動(dòng)的速度:

其中u=dx/dt,是波傳播速度。

現(xiàn)在考慮作用在波面上的壓強(qiáng)。我們前面討論過(guò),風(fēng)壓的分布是隨液面的起伏不同,扣除平均大氣壓力,在波面高處,有向上的吸力,在低處有向下的壓力。在實(shí)際情形下,壓強(qiáng)的最大處并不是出于如圖3波面的最高處,而是略微偏右一點(diǎn),也就是略微偏向波面最高點(diǎn)的背風(fēng)面。這種情況就使壓強(qiáng)的表達(dá)式有一個(gè)小的位相偏移量δ,即:

為簡(jiǎn)單計(jì),令α=x/l-t/T,于是在一個(gè)振蕩周期中,風(fēng)壓對(duì)波面所做的功率在一個(gè)振蕩周期上的積分為:

積分是從0到T。

由于

把它代入上式,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化和積分就得到:

由于積分前面的系數(shù)都是正的,被積函數(shù)又是平方項(xiàng),顯然這是一個(gè)正值的積分。就是說(shuō),風(fēng)壓對(duì)波面不斷做正功。也就是說(shuō),只要是有風(fēng),它就會(huì)不斷向有微小擾動(dòng)的液面輸入功,從而增加液體的動(dòng)能。這就是只要風(fēng)不斷吹,波浪就會(huì)不斷升高的道理。

綜合以上的討論我們看到,在用前面的式子求出的風(fēng)速的條件下,水平的水面平衡是不穩(wěn)定的。就是說(shuō)風(fēng)速的任何增加都會(huì)使水面離水平面越來(lái)越遠(yuǎn)。這就是為什么,風(fēng)一吹,水面就起波浪,也就是“風(fēng)咋起,吹皺一池春水”的道理。

不過(guò)又會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題,既然有風(fēng)持續(xù)吹,波浪就會(huì)越來(lái)越高,是不是就會(huì)無(wú)限高下去呢?不會(huì)的,我們知道波浪往遠(yuǎn)處傳就相當(dāng)于把能量傳播出去,另外水的粘性也會(huì)消耗一部分能量,這樣,當(dāng)風(fēng)輸入的能量和波傳播以及水的粘性消耗的能量平衡時(shí),即使風(fēng)繼續(xù)吹,波浪也不會(huì)再高上去,而會(huì)維持在一個(gè)高度上。一般說(shuō)來(lái)風(fēng)速越大持續(xù)的時(shí)間越長(zhǎng)浪越高。下面這張表,就是一張?jiān)陲L(fēng)吹的條件下風(fēng)速和海浪高度的對(duì)照表。它對(duì)于航海的人和漁民還是很有參考意義的。因?yàn)閺臍庀笈_(tái)知道了預(yù)報(bào)的風(fēng)速,就能夠大致估計(jì)出浪高,就會(huì)估計(jì)是不是適宜出海。

在圖3上,我們看到的情形是在水面有起伏時(shí),水面上的空氣流動(dòng)還是貼著水面流動(dòng)的,也就是說(shuō)空氣的流動(dòng)還沒(méi)有產(chǎn)生漩渦。實(shí)際上,在波浪的形成的水面背風(fēng)面陡度增加到一定程度,在浪的背風(fēng)處就會(huì)有風(fēng)的漩渦產(chǎn)生。如圖5我們看到在波浪背風(fēng)的地方產(chǎn)生了風(fēng)的漩渦。我們知道漩渦中心的壓強(qiáng)很小,所以那里的吸力更大。這就說(shuō)明當(dāng)波浪高到一定程度,波浪的形狀便會(huì)是順風(fēng)的一側(cè)更高。這種壓差,一方面使波浪順著風(fēng)吹的方向前進(jìn),這就表現(xiàn)為行波,即波的高度不變,但它的波峰以一定的速度順風(fēng)前進(jìn);另一方面背風(fēng)渦的壓差使得波的形狀愈來(lái)愈不對(duì)稱(chēng),即背風(fēng)面愈來(lái)愈陡,這種趨勢(shì)不斷發(fā)展下去波浪就會(huì)破碎產(chǎn)生如圖7那樣的效果。在實(shí)際中就會(huì)出現(xiàn)浪花、波浪倒卷、波浪翻滾、驚濤駭浪的情況。

最后,回過(guò)頭來(lái)說(shuō)一說(shuō)風(fēng)和水面的摩擦力的問(wèn)題。我們看到風(fēng)引起的波浪起伏主要是由于風(fēng)引起水面壓強(qiáng)變化。原因是風(fēng)與水面的摩擦力很小,是因?yàn)榭諝夂退g的黏性系數(shù)很小,只占次要的位置,所以在討論風(fēng)引起的波浪時(shí)可以忽略不計(jì)。

還應(yīng)當(dāng)指出的是,如果有兩種比重不同的流體,而且上面比重小的那一層在以一定的速度流動(dòng),兩層流體之間也會(huì)有波動(dòng)。這和風(fēng)與水波的情形是類(lèi)似的。在具有泥沙的水庫(kù)放水時(shí)就有這種情形,這時(shí),比重大的泥漿在下面,上面含泥沙較少的水流動(dòng),就會(huì)激起下面泥漿的波動(dòng)。如果控制得好,就會(huì)把水庫(kù)里的泥沙帶走,使水庫(kù)的泥沙沉積減緩。這就是平常說(shuō)的異重流的問(wèn)題。

圖6 波浪中背風(fēng)的漩渦

圖中帶箭頭的線表示風(fēng)的流動(dòng)方向,黑箭頭表示水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向,+、-號(hào)表示該處壓強(qiáng)與平均壓強(qiáng)為正還是為負(fù)。

圖7 波浪破碎

所以,我們可以做結(jié)論說(shuō),風(fēng)引起波浪主要是由壓強(qiáng)變化而不是由摩擦力引起的。

參考文獻(xiàn)

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave

   
   

2. 王振東,風(fēng)乍起,吹皺一池春水——談流體運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性,《力學(xué)詩(shī)趣》p.43-48(王振東、武際可著,湖北科學(xué)技術(shù)出版社,2013)

   
   

3. Phillips,O. M. (1957), "On the generation of waves by turbulent wind", Journalof Fluid Mechanics 2 (5): 417–445, Bibcode: 1957JFM.....2..417P, doi:10.1017 / S0022112057000233

   
   

4. Miles, J. W. (1957), "On the generation ofsurface waves by shear flows", Journal of Fluid Mechanics 3 (2): 185–204, Bibcode: 1957JFM.....3..185M, doi:10.1017 / S0022112057000567

附記:本文中的圖片與表格,除圖3外都來(lái)自網(wǎng)絡(luò)。

來(lái)源:武際可科學(xué)網(wǎng)博客

作者:文|武際可,北京大學(xué)力學(xué)系退休教授

原文鏈接:http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-963856.html

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