流體N-S方程的剖析

2017-05-05 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

普通的力學(xué)平衡問題我們可以通過一張簡(jiǎn)單的受力平衡示意圖來理解其受力平衡,但是對(duì)于N-S方程,無法想象出這種示意圖。比如下公式的幾項(xiàng),怎么在圖上表示呢?

補(bǔ)畫了一張流體微元的受力分析圖。

如果只分析x方向上的,是不是上面的式子的重力項(xiàng)就為0?如果要加入其它的力,是不是也只需求它們?cè)趚方向上面的分力?

要回答以上問題,得先一步一步了解下面的流體知識(shí):

1. 歐氏描述 v.s 拉氏描述。

作為學(xué)習(xí)傳統(tǒng)流體力學(xué)的人,有一個(gè)必需知道的常識(shí),那就是當(dāng)描述流體流動(dòng)時(shí),我們采用的是歐拉描述。與其對(duì)應(yīng)的是在固體力學(xué)中使用的拉格朗日描述。
通俗的說,拉氏描述關(guān)注對(duì)象是物體,比如高中物理中的的神物-----斜坡上的小木塊。而歐氏描述的對(duì)象是場(chǎng),是空間位置,這個(gè)就比較抽象了,形象地說就是你研究一根水柱,你看到的其實(shí)是一個(gè)水柱形狀的空間。當(dāng)水流動(dòng)時(shí),這根水柱里的水(一群連續(xù)的質(zhì)點(diǎn))每時(shí)每刻都是不同的,但是空間是固定的(水柱狀)。傳統(tǒng)牛頓三定律都是拉氏描述,而且拉氏描述下的牛頓定律在低速條件下是普適的。

為什么會(huì)出現(xiàn)這兩種不同的描述呢?
傳統(tǒng)固體力學(xué)的對(duì)象是固體,方法是線性的。線性固體力學(xué)的對(duì)象是一群位置相對(duì)不變的連續(xù)質(zhì)點(diǎn),外部力向內(nèi)部傳遞的方式是相對(duì)固定的(這是線性固體力學(xué)的小形變假設(shè),沒有這個(gè)假設(shè),非線性固體力學(xué)和流體力學(xué)本質(zhì)上是一樣的),所以受力分析相對(duì)簡(jiǎn)單。也就是說,整個(gè)計(jì)算過程,我們關(guān)注的是某一個(gè)或者某一群質(zhì)點(diǎn),從頭到尾我們都是在分析這群質(zhì)點(diǎn)的受力。
而流體力學(xué)無法這樣分析,因?yàn)榱黧w的形變是很大的,當(dāng)你對(duì)一坨流體做受力分析,實(shí)在太復(fù)雜。而且當(dāng)你對(duì)不同形狀的流體做受力分析,外部力向內(nèi)部的傳遞方式是不一樣的。因此,歐拉描述就有了大作用:與其關(guān)注一群質(zhì)點(diǎn),我關(guān)心的是一個(gè)固定的空間(控制體),不同的質(zhì)點(diǎn)可以進(jìn)出這個(gè)控制體,但是質(zhì)量守恒與動(dòng)量、能量平衡在控制體內(nèi)必須得到滿足:流經(jīng)這個(gè)控制體的流體,在期間收到多少力,動(dòng)量就改變多少;收到多少功、熱量,能量就改變多少;而流進(jìn)流出的流體質(zhì)量必須守恒。換言之,此時(shí),不關(guān)心某一個(gè)特定的質(zhì)點(diǎn)了,而是關(guān)心的是在某個(gè)時(shí)間點(diǎn),位于某個(gè)目標(biāo)位置的質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)A這一刻在的目標(biāo)位置,研究它,下一刻它流到了一個(gè)不關(guān)心的位置,而質(zhì)點(diǎn)B流了進(jìn)來,那就研究質(zhì)點(diǎn)B。受力分析無法運(yùn)作了,因?yàn)槟阊芯康馁|(zhì)點(diǎn)時(shí)刻在變。

這就可以解釋,為什么流體力學(xué)中沒有Freebody Diagram (受力分析)這種東西?對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的受力分析是拉氏描述特有的,歐氏描述不具備這樣的特征。因?yàn)槔厦枋鲫P(guān)注的是物體 (質(zhì)點(diǎn)),歐氏描述關(guān)注的是空間 (控制體)。你的目標(biāo)質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻在變,而你對(duì)空間本身做受力分析是木有意義的。

那這兩種描述的優(yōu)劣及其聯(lián)系是什么呢?從連續(xù)體力學(xué)和張量分析的角度,這兩者是互通的。根據(jù)研究對(duì)象要求隨時(shí)變換使用。在上面內(nèi)容也說到了,小形變或者無形變時(shí),比如靜止液體、等液面分析,拉氏描述是更占優(yōu)的,因?yàn)樗荛_了NS方程中隨流項(xiàng)帶來的非線性從而使問題線性化(后面會(huì)介紹),解決了解的存在性和唯一性問題。但是,對(duì)于做航空發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道內(nèi)流的,幾百米每秒的速度流動(dòng),用拉氏描述分析問題,臣妾做不到啊。所以,具體問題具體分析,兩者一樣好,都是棒棒噠!另外,高校流體力學(xué)的教材中,對(duì)歐氏描述介紹比較多,因?yàn)槔厦枋龃蠹覐母咧芯椭馈?br />
2. 雷諾輸運(yùn)定理。

提到歐氏與拉氏描述,就必須要講雷諾輸運(yùn)定理。簡(jiǎn)單地說,雷諾輸運(yùn)定理是連接拉氏描述與歐氏描述的橋梁。

直接擺公式:

等號(hào)左邊是物質(zhì)導(dǎo)數(shù),拉氏描述。而等號(hào)右邊,就是典型的控制體分析。用通俗的語言來說,就是:物理量m的變化量=控制體內(nèi)物理量m的當(dāng)?shù)刈兓?+ 物理量m流入/流出控制體的量。很多人不理解為什么左邊的d/dt項(xiàng)要在積分外而等號(hào)右邊的d/dt(偏微分)項(xiàng)要在等號(hào)內(nèi)。這其實(shí)也是拉氏與歐氏描述的差異與精髓所在。搞清這點(diǎn),才算之真的對(duì)兩種描述有了一定的認(rèn)識(shí)。

正如之前所說,拉氏描述關(guān)注質(zhì)點(diǎn),那么等號(hào)左邊的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是針對(duì)某些特定的質(zhì)點(diǎn)而言的,那么當(dāng)時(shí)間變化,這些質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)后,他們所在的位置是改變的,換言之,由這些質(zhì)點(diǎn)組成的空間

也是隨時(shí)間改變的。所以,將時(shí)間導(dǎo)數(shù)放在積分號(hào)外,是因?yàn)槔厦枋鱿?對(duì)象空間也是隨時(shí)間改變的,時(shí)間導(dǎo)數(shù)需要將空間的變化也考慮進(jìn)去。而等號(hào)右邊的時(shí)間導(dǎo)數(shù),因?yàn)槭菤W氏描述,目標(biāo)空間(控制體)固定, 所以空間不是時(shí)間的函數(shù), 于是時(shí)間導(dǎo)數(shù)符合就放在了積分號(hào)的里面。

雷諾輸運(yùn)定理的重要性體現(xiàn)在其橋梁作用以及在歐氏描述下的普適性。傳統(tǒng)流體力學(xué)的NS方程就是由雷諾輸運(yùn)定理結(jié)合牛頓三定律與質(zhì)能守恒律推導(dǎo)出來的。

3. NS方程。

鑒于篇幅,只推導(dǎo)動(dòng)量方程了,質(zhì)量與能量方程請(qǐng)大家自己看教科書。

在之前說過,歐氏描述下的控制體分析,精髓在于流量守恒。對(duì)于一個(gè)固定的控制體,以質(zhì)量為例,在沒有源的前提下,流進(jìn)和流出控制體的質(zhì)量,必須是相等的。類似的還有動(dòng)量與能量的平衡。

但是,數(shù)學(xué)描述是怎樣的呢?在開頭介紹歐氏與拉氏描述是,提到過一點(diǎn),牛頓三定律是拉氏描述,而且牛頓定律是低速下普適的。任何其他動(dòng)量方程必須以滿足牛頓三定律為前提。所以,以動(dòng)量方程為例,推導(dǎo)就應(yīng)該從牛頓定律開始,也就是:

考慮到流體不是一個(gè)質(zhì)點(diǎn),而是一個(gè)連續(xù)體,所以:

其實(shí)

表示單位體積的力。到這里,我沒有使用任何歐氏描述,一切都是拉氏描述,沒有任何變換。接下來,就要引入歐氏描述了。等號(hào)的左邊是不是特別眼熟?雷諾輸運(yùn)定理:

利用高數(shù)里的高斯散度定理,上述方程的第三項(xiàng)流量項(xiàng)可替換為散度的體積積分,于是:

第二項(xiàng)內(nèi)的兩點(diǎn)表示張量積。這不是重點(diǎn),重點(diǎn)在于,整個(gè)方程變成了一個(gè)關(guān)于V的積分方程。因?yàn)榭刂企w的選擇是任意的,所以上述等式滿足的必要條件是:

等號(hào)左邊的項(xiàng),是一個(gè)三維矢量,其x方向的投影就是題主在問題描述中的x方向動(dòng)量方程的等號(hào)左邊部分。

我已經(jīng)提到過,NS方程本身就是一個(gè)針對(duì)牛頓流體的模型。原因在于,牛頓流體的應(yīng)力是與其應(yīng)變率成正比的:

其中

就是應(yīng)變率矩陣,其元素定義如下:

而

是一個(gè)3x3x3x3的張量,但是因?yàn)槲覀兊睦碚搶W(xué)習(xí)多假設(shè)各項(xiàng)同性和泊松效應(yīng),所以就簡(jiǎn)化成一個(gè)3x3的矩陣了,其性質(zhì)類似彈簧的剛度系數(shù)或者材料力學(xué)中的材料的剪切系數(shù)、泊松比之類的,總而言之,就是一系列與流體本身性質(zhì)相關(guān)的常數(shù)。再根據(jù):

另外,如果在考慮重力,結(jié)合上述,一項(xiàng)一項(xiàng)代入,你看到的就是完整的NS方程組。

4、關(guān)于NS方程組形象的物理意義。

上面的推導(dǎo),基本上把NS方程基本的物理意義介紹了一遍。而題主要形象地介紹NS方程,從以下幾個(gè)點(diǎn)再補(bǔ)充一些:

1)隨流項(xiàng)。

NS方程組的至今無解的原因,是因?yàn)榉匠瘫旧硎欠蔷€性的。而非線性的源頭就是等號(hào)左邊的第二項(xiàng),即:

眾所周知,對(duì)于非線性偏微分方程,除了少數(shù)極簡(jiǎn)單的方程外,普遍意義上來說還沒找到有效的普適的求解析解的方式。而且NS方程組的本身還是二階非線性的,而且還是方程組,這就更無解了。

雖然無解,但是隨流項(xiàng)的物理意義卻非常重要:它表征了流體中物理量在空間中的信息傳遞。

首先,隨流項(xiàng)是在拉氏描述向歐氏描述轉(zhuǎn)換時(shí)產(chǎn)生的,這說明隨流項(xiàng)是歐氏特有的。拉氏沒有這樣的非線性項(xiàng)。那么回到歐氏描述。歐氏描述的特征是目標(biāo)空間。在歐拉描述下,研究對(duì)象時(shí)正好位于目標(biāo)空間的物質(zhì)。舉個(gè)不恰當(dāng)?shù)睦?一幫運(yùn)動(dòng)員繞著田徑場(chǎng)跑長(zhǎng)跑。而我研究他們的速度,我盯著的是200米處這個(gè)位置,任何經(jīng)過這個(gè)位置的人,我都記下他/她的速度。這是歐氏的描述方式。那么隨流項(xiàng)在歐氏描述下起到的作用是什么呢?正如我之前所說,信息傳遞。

還是這群長(zhǎng)跑的運(yùn)動(dòng)員,我想知道其中某個(gè)運(yùn)動(dòng)員在300米處時(shí)的速度,我知道運(yùn)動(dòng)員的速度隨著距離的增加而減小的規(guī)律,同時(shí)知道他們?cè)?00米處的速度,那么300米處的速度怎么求?不就是200米處的速度+300米處到200米處的速度變化嗎?寫成數(shù)學(xué)公式:

如果每個(gè)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過200米處的速度隨時(shí)間變化:

是不是就是隨流項(xiàng)?

通俗地說:

i)隨流項(xiàng)是歐氏與拉氏描述在微分下互相轉(zhuǎn)換的橋梁(雷諾輸運(yùn)定理是積分下的橋梁);

ii)隨流項(xiàng)描述了某個(gè)質(zhì)點(diǎn)原始所具備的物理量隨流體流動(dòng)方向的傳播方式。

iii) 流體中任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的物理量,不僅與它當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān),也與它之前的狀態(tài)相關(guān),兩者之間的連系方式就是隨流項(xiàng)。

的應(yīng)用范圍。

一句話:

本身是沒有限制的,如果你研究的流體有自己的特性,那么等號(hào)右邊的

項(xiàng)會(huì)有不同的表達(dá)方式,但是大體的推導(dǎo)過程和上面沒啥差別。

總結(jié):

想起hydrodynamics老師上課時(shí)候說過一句話,看一個(gè)公式大概長(zhǎng)什么樣是沒用的,一定要自己拿起紙筆一步一步推導(dǎo)一遍。NS方程就是最好不過的例子。

理解NS方程需要這幾個(gè)方面:
1,理解拉格朗日和歐拉體系的不同以及從中推導(dǎo)的material derivative的關(guān)系;
2, 理解mass conservation & momentum conservation; 后者就是牛頓第二定律;
3, 理解流體與固體本質(zhì)不同的本構(gòu)方程;
4,最后加上newton fluid的假設(shè),和一些純數(shù)學(xué)的推導(dǎo)。

最后結(jié)合文章開始的圖,如果能完全理解control volumn的方法的話,這些關(guān)系就很容易理清了。

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