流沙,博士,擁有近10年CFD從業(yè)經(jīng)驗(yàn),其編寫的《ICEM CFD簡(jiǎn)明教程》在網(wǎng)上瘋傳,被學(xué)習(xí)者視為入門寶典?，F(xiàn)已出版專著《ANSYS ICEM CFD工程實(shí)例詳解》,廣受好評(píng)!

本公眾號(hào)將陸續(xù)推送流沙的《小白的CFD之旅》——是小說(shuō),也是CFD教程;有故事性,也有技術(shù)點(diǎn);小白,也許是現(xiàn)在的你,亦或是曾經(jīng)的你

忙碌了一個(gè)學(xué)期終于放暑假了,小白心情很愉快。然而想起CFD教材上的那些點(diǎn)綴著各種讓人眼花繚亂符號(hào)的數(shù)學(xué)公式,整個(gè)人就不好了。不過(guò)這些事情小白也不好意思去麻煩師兄師姐們,還得靠自己去摸索。正好趁著暑假把這些東西整理一下。小白覺(jué)得最基礎(chǔ)的CFD理論是流動(dòng)控制方程,除此之外是各種數(shù)值算法。

所謂的流動(dòng)控制方程,指的是流體流動(dòng)過(guò)程中所需要遵循的物理規(guī)律,最常見(jiàn)的流動(dòng)控制方程包括質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程與能量守恒方程。針對(duì)不同的流動(dòng)工況,控制方程可能還包括組分守恒方程、湍流方程、狀態(tài)方程等。然而對(duì)于任何流動(dòng)問(wèn)題,都必須遵循質(zhì)量守恒方程和動(dòng)量守恒方程。在非常多去的參考文獻(xiàn)中,質(zhì)量守恒方程也稱之為連續(xù)方程,而把動(dòng)量方程稱之為納維-斯托克斯方程,簡(jiǎn)稱NS方程,CFD的任務(wù)即求解NS方程。

1 連續(xù)方程(質(zhì)量守恒方程)

連續(xù)性方程比較簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單來(lái)講,就是流入(流出)系統(tǒng)中的質(zhì)量要等于系統(tǒng)質(zhì)量的增加量(減少量)。

連續(xù)方程更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎鰹?

[控制體內(nèi)流體質(zhì)量變化率] = [穿過(guò)控制體表面的流體質(zhì)量流量]

因此有:

式中,n為單位法向矢量。

利用高斯散度定理(一個(gè)矢量散度的體積分應(yīng)等于這個(gè)體積表面通量的面積分),即:

則有:

改變形式可得:

式中,

由于推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)控制體形狀未做任何限定,因此意味著

此即流動(dòng)控制方程的質(zhì)量守恒方程。

可展開為:

對(duì)于不可 壓縮流體介質(zhì),其密度ρ為常數(shù),則質(zhì)量守恒方程可簡(jiǎn)化為:

展開即為:

2 隨體導(dǎo)數(shù)

隨體導(dǎo)數(shù)是流體力學(xué)中的概念,與數(shù)學(xué)上的導(dǎo)數(shù)概念有差異。隨體導(dǎo)數(shù)通常指流體微團(tuán)歲時(shí)間的變化率。

隨體導(dǎo)數(shù)用

來(lái)表示。其形式為:

隨體導(dǎo)數(shù)非常有用。若將單位質(zhì)量通用變量記為Φ,將對(duì)時(shí)間的隨體導(dǎo)數(shù)記為

,則有:

此方程定義了單位質(zhì)量通用變量Φ對(duì)時(shí)間的變化率。而單位控制體體積內(nèi)通用變量Φ的密度可通過(guò)密度ρ與Φ的隨體導(dǎo)數(shù)的乘積得到,即

此式表示單位控制體內(nèi)通用變量Φ變化率的非守恒形式。

通過(guò)質(zhì)量守恒方程

容易猜想通用變量Φ的守恒形式的各項(xiàng)可統(tǒng)一表示為:

轉(zhuǎn)換形式:

而根據(jù)質(zhì)量守恒定律,有

故可得:

因此單位體積內(nèi)Φ的變化率可表示為

3 動(dòng)量守恒方程

應(yīng)用牛頓第二定律,作用在流體微團(tuán)上的合力等于流體質(zhì)量與加速度的乘積,即

式中,Fx和ax分別為x方向上的分力與加速度。