骨小梁必須能夠承受日常行為和受傷時引起的載荷。由于骨小梁的高度多孔性和復(fù)雜結(jié)構(gòu),并且這種多孔性和復(fù)雜結(jié)構(gòu)在不同的解剖部位和不同的個人之間,差異極大,因而研究骨小梁的機械特性非常具有挑戰(zhàn)性。雖然細(xì)觀有限元分析 (μFE) 是分析骨小梁機械特性的最常用的方法,但由于這些模型的尺寸很大,迫使研究人員使用自定義代碼和線性分析方法。Abaqus 的非線性功能可以對這些模型進(jìn)行有效分析,為重要的研究課題提供答案。

Abaqus 的主要功能和優(yōu)點

建立模擬骨骼組織機械特性的本構(gòu)模型
輕松求解幾何的和材料的非線性模型
支持并行求解

 

 

 

 

 

 

 

背景知識

骨小梁位于長骨(如股骨)的末端和立方骨(如脊骨)中,是人類骨骼中承載生物組織的主要生物組織。它的機械特性有很高的臨床價值和研究價值。增進(jìn)對骨小梁機械特性的了解,有助于深入研究骨骼的斷裂機理,也有助于評估年齡、疾病和藥物治療的影響。骨小梁是一個充滿孔洞的組織——脊骨中 85% 以上是孔洞,并有著復(fù)雜的結(jié)構(gòu),而且這兩者都因不同的人和不同的解剖部位而存在很大差異(參見圖 1)。因此,要用統(tǒng)計學(xué)的方法確定骨小梁的機械特性,就需要多個樣本的機械特性數(shù)據(jù)。

 

 

細(xì)觀有限元法 (μFE) 廣泛應(yīng)用于骨小梁機械特性的研究,包括在光譜水平和微結(jié)構(gòu)水平兩個方面的研究。這些模型是通過對骨小梁樣本進(jìn)行高分辨率成

像得到的,樣本被自動劃分成元素為六面體的有限元網(wǎng)格(參見圖 2)。網(wǎng)格中所有的單元都完全一樣,一般尺寸在 50 微米。劃分網(wǎng)格后,一個邊長 5 毫米的立方體樣本的 μFE 模型一般具有 50 萬個自由度。與試驗用樣本(8 毫米直徑和 15 毫米長)類似的骨骼樣本的 μFE 模型則有幾百萬個自由度。

圖 2:含有 44μm 單元的骨骼樣本中一塊邊長
2.5 毫米立方體的 μFE 網(wǎng)格圖

在過去,這些大量的問題會使許多研究人員不得不利用自定義代碼,一個單元一個單元地迭代求解。由于非線性有限元模型非常復(fù)雜,這些自定義代碼只限于線彈性分析。雖然線彈性有限元模型不能模擬骨骼受損情況,但是研究人員經(jīng)常利用它與試驗數(shù)據(jù)校核,確定骨骼組織的彈性特性。然而,關(guān)于骨小梁非線性機械特性的許多問題還有待解決。
因為 Abaqus/Standard 能夠利用并行處理能力解決大型問題,包括復(fù)雜材料模型問題,所以它非常適合這類分析。在本技術(shù)簡報中,我們利用 Abaqus/Standard 研究了幾何非線性在骨小梁機械特性中的作用。我們對一個具有四百多萬個自由度的模型進(jìn)行線彈性分析。通過檢驗此分析的并行處理能力(也就是可伸縮性),我們展示了它求解大型問題的可行性。

有限元分析方法

利用顯微X線斷層攝影技術(shù) (μCT 20,Scanco Medical AG, Bassersdorf, Switzerland),以 22 微米的分辨率,對容積率為 9% 的人類脊椎骨小梁樣本進(jìn)行成像(參見圖 1)。建立了兩個 μFE 模型。首先,整個圓柱形樣本被劃分為大小 44 微米的六面體單元網(wǎng)格(參見圖 2)。然后,從圓柱體中心劃出一個邊長為
5 毫米的立體子區(qū),建立另一個具有相同單元大小的模型。兩個模型的網(wǎng)格數(shù)量見表 1。
表 1:μFE 模型的網(wǎng)格數(shù)量

 

圓柱體模型被用來評定直接稀疏求解器的并行處理能力。在沒有摩擦的情況下,在頂面和底面應(yīng)用位移邊界條件,模擬 1% 壓縮應(yīng)變。分別用 HP rx8620 計算機中 1、2和4 個 CPU 進(jìn)行線彈性分析。
利用邊長為 5 毫米的立方體模型進(jìn)行非線性分析。這個尺寸的立方體已大得足夠確定平面特性,同時又小得足夠確保非線性分析的可行性。骨骼組織模型是用鑄鐵塑性材料制造的。鑄鐵塑性材料在受到拉伸和壓縮時,其彈塑性狀態(tài)會有不同的屈服強度和硬化,因此會產(chǎn)生一個非對稱的單元剛度矩陣。因此,需要使用非對稱存儲的并行稀疏直接求解器。樣本是一個彈性模量為 13.4Gpa,泊松比為 0.3 的組織。(參見參考文獻(xiàn) 2)根據(jù)人類股骨骨小梁組織的屈服應(yīng)變(參見參考文獻(xiàn) 3),鑄鐵塑性模型組織拉伸時的屈服應(yīng)力為 55.2MPa,壓縮時為 110.6MPa。在拉伸和壓縮時,使用的是相當(dāng)于彈性模量 5% 的硬化斜度。在無摩擦的位移邊界條件下,拉伸和壓縮采用了 2% 的公稱應(yīng)變。在這樣低的公稱應(yīng)變條件下,骨骼微結(jié)構(gòu)的自力接觸可以忽略。此外,每個模型都進(jìn)行了考慮和不考慮幾何非線性變形的模擬?？偣策M(jìn)行了四個非線性分析,為了進(jìn)行比較,還計算了平面屈服應(yīng)變。所有對立方體的分析都是在一臺 IBM Power4 計算機上進(jìn)行的,使用了兩個 CPU。

結(jié)果和結(jié)論

利用 4 個 CPU 對圓柱體模型進(jìn)行線性分析,用時不到 16 分鐘,占用內(nèi)存不到 11 GB(參見表 2)。表 2 還包括了平行直接求解器的計數(shù)結(jié)果;加速因數(shù)是根據(jù)求解時間得到的。對具有幾何非線性的立方體 μFE 模型進(jìn)行非線性分析,用時不到 7.4 小時,占用內(nèi)存 4.1 GB。每個非線性分析需要大約 100 個線性方程的解,這就強調(diào)了求解器可伸縮性的重要性。骨骼結(jié)構(gòu)中初始屈服點的定位使得非線性分析的收斂變得更加具有挑戰(zhàn)性(參見圖 3)。
表 2:6.4-3 版直接稀疏求解器性能

 

圖 3:在 2% 壓縮應(yīng)變情況下邊長為 2.5 毫米立方體的μFE 模型的骨骼結(jié)構(gòu)局部應(yīng)力分布圖
圖 4 是根據(jù)表觀應(yīng)變(樣本長度的變化/原始樣本長度)作出的表觀應(yīng)力(外力/橫截面面積(25 平方毫米))圖。初始屈服點定義為偏移量達(dá)到 0.2% 的點。與試驗數(shù)據(jù)(參見參考文獻(xiàn) 4)類似,壓縮時的屈服應(yīng)變比拉伸時的大。
表 3:不同模型組合的屈服應(yīng)變

 

圖 4:四個非線性分析的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖幾何非線性在壓縮時引起軟化,拉伸時引起硬化標(biāo)記顯示由 0.2% 偏移量方法(點劃線)確定的初始屈服點

雖然組織材料在硬化,但當(dāng)考慮幾何非線性時,很明顯地觀察到有軟化發(fā)生(參見圖 4)。另外屈服應(yīng)變與試驗測量結(jié)果類似,特別是壓縮的情況下(參見參考文獻(xiàn) 4)。這些結(jié)果表明在拉伸和壓縮時骨小梁組織有著不同的屈服特性,應(yīng)該把 μFE 模型和幾何非線性結(jié)合起來,精確地模擬骨小梁的平面屈服特性。