動力學(xué)問題分析：華山論劍之顯隱式動力學(xué)分析

2017-02-27 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

如若將有限元法處理動力學(xué)問題比作武林之華山,以Newmark法居尊的隱式派與以中心差分法為長的顯式派近年來各自閉關(guān)修行,越發(fā)爐火純青,劍指對方,咄咄逼人,以致勢同水火。高手過招難免令各位看官眼花繚亂,且聽老夫為你細(xì)細(xì)道來,自成一言,言多休怪。

如今這兩派在有限元處理動力學(xué)問題的方面已牢牢站穩(wěn)腳跟,正如北少林,南武當(dāng),除此之外誰敢王。

典宗

武林講究尋源溯宗,且看二者身出東方還是天外飛仙。

在求解動力學(xué)問題時,將方程在空間上采用有限元法(或其他方法)進(jìn)行離散后,變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探MF=M(u)+C(u)+K(u)。求解這種方程的其中兩種方法為,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動力學(xué)問題被稱為顯式算法,采用Newmark法解決動力學(xué)問題被稱為隱式算法。

隱式求解咬定[K]*{A}={F}青山不放松,需要求解非線性方程組,通過迭代方法獲得近似解。動態(tài)問題涉及到時間域的數(shù)值積分方法問題,在上世紀(jì)80年代中期以前,人們基本上采用Newmark法進(jìn)行時間域的積分。在紐曼法中任一時刻的位移、速度、加速度都相互關(guān)聯(lián),這就使得運動方程的求解變成一系列相互關(guān)聯(lián)的非線性方程的求解,這個求解過程必須通過迭代和求解聯(lián)立方程組才能實現(xiàn)。這就是通常所說的隱式求解法。

顯式求解是對時間進(jìn)行差分,不存在迭代和收斂問題,最小時間步取決于最小單元的尺寸。過多和過小的時間步往往導(dǎo)致求解時間非常漫長,但總能給出一個計算結(jié)果。解題費用非常昂貴。

利器

正所謂刀如屠龍,倚天不出,誰與爭鋒?且看二者利器如何鋒芒畢露。

洪家鐵線拳腳法應(yīng)也犀利,十二路譚腿雙拳亦很給力。二者從概念上來講其實很泛,都可以進(jìn)行靜力學(xué)分析和動力學(xué)分析。

隱式求解法最大的優(yōu)點是它具有無條件穩(wěn)定性,即時間步長可以任意大(以K求逆的代價獲得)。能提供更有力的整體逼近,通過反復(fù)迭代保證結(jié)果精度。

對于顯式分析,當(dāng)前時刻的位移只與前一時刻的加速度和位移有關(guān),這就意味著當(dāng)前時刻的位移求解無需迭代過程。不存在收斂問題。當(dāng)使用集中質(zhì)量矩陣時,不需要求解線性方程組。

硬傷

習(xí)武之人如修金鐘罩者陽氣護(hù)體,刀劍難損,然一旦被攻入氣門,則脆弱不堪。二者各自都有硬傷,且聽老夫道來。

隱式求解法可能遇到兩個問題。一是迭代過程不一定收斂,二是聯(lián)立方程組可能出現(xiàn)病態(tài)而無確定的解。不考慮慣性和阻尼情況下,隱式需要求解[k] {u}={F},由于無條件穩(wěn)定,可以使用大的時間步長。然而,由于材料非線性和幾何非線性使得剛度矩陣不斷更新,F為體積力、面力和集中載荷的總成矩陣,計算步長受精度限制,對于高度非線性問題(如碰撞、爆炸等)不能保證收斂。且每次迭代都需要求解大型線性方程組,過程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計算資源、磁盤空間和內(nèi)存。

顯式求解的缺點是時間步長受到數(shù)值積分穩(wěn)定性的限制,不能超過系統(tǒng)的臨界時間步長。因此,時間步長需要劃分很細(xì)很細(xì)。

盡管隱式編程相對較難,然而其結(jié)果更為準(zhǔn)確。當(dāng)然,如果保證顯式解法的小小時間步長,顯式結(jié)果也十分可信。

應(yīng)用范圍

雖然佛道一家,畢竟各承衣缽。

大多數(shù)非線性動力學(xué)問題一般多是采用顯式求解方法,特別是在求解大型結(jié)構(gòu)的瞬時高度非線性問題時,顯式求解方法有明顯的優(yōu)越性。

為了確定單元內(nèi)力,兩種算法都求解節(jié)點加速度,區(qū)別在于計算節(jié)點加速度的方式。隱式用直接法求解一系列的線性方程組。而顯式算法采用集中質(zhì)量的方法使質(zhì)量矩陣對角化,這樣不需經(jīng)過迭代即可求解相互獨立的多個方程。并且采用中心差分法對時間進(jìn)行離散化,即假定加速度為常數(shù)以求得速度的變化,用這個速度的變化值加上前一個時間段中點的速度來確定當(dāng)前時間段的中點速度:速度沿時間積分的結(jié)果加上此時間段開始時的位移,確定了時間段結(jié)束時的位移。這樣,在時間段開始時,提供了滿足動力學(xué)平衡條件的加速度。

知道了加速度,通過對時間的“顯式”求解,可以進(jìn)一步求出速度和位移。所謂的“顯式”是指時間段結(jié)束時的形態(tài)僅取決于此時間段開始時的位移、速度和加速度。為了得到精確的結(jié)果,時間增量段必須分得足夠小以保證加速度在時間段中近似為常數(shù),一般的分析需要成千上萬個時間段。但由于不必同時求解聯(lián)立方程,每一個增量計算成本較低,大部分的計算機資源消耗在計算確定作用在節(jié)點上的單元內(nèi)力上。

使用顯式方法,計算成本消耗與單元數(shù)量成正比,并且大致與最小單元的尺寸成反比。應(yīng)用隱式方法,經(jīng)驗表明對于許多問題的計算成本大致與自由度數(shù)目的平方成正比,因此如果網(wǎng)格是相對均勻的,隨著模型尺寸的增長,顯式方法比隱式方法更加節(jié)省計算成本。

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