淺談有限元方法的核心思想【轉(zhuǎn)發(fā)】

2017-02-06 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

有限元法(Finite Element Method)是基于近代計算機的快速發(fā)展而發(fā)展起來的一種近似數(shù)值方法, 用來解決力學(xué)、數(shù)學(xué)中的帶有特定邊界條件的偏微分方程問題(PDE)。而這些偏微分方程是工程實踐中常見的固體力學(xué)和流體力學(xué)問題的基礎(chǔ)。有限元和計算機發(fā)展共同構(gòu)成了現(xiàn)代計算力學(xué) (Computational Mechanics)的基礎(chǔ)。有限元法的核心思想是“數(shù)值近似”和“離散化”, 所以它在歷史上的發(fā)展也是圍繞著這兩個點進(jìn)行的。

1數(shù)值近似

由于在有限元法被發(fā)明之前,所有的力學(xué)問題和工程問題中出現(xiàn)的偏微分方程只能依靠單純的解析解(Analytical Solution)得到解答。這種方法對數(shù)學(xué)要求很高,而且非常依賴于一些理想化的假定(Assumption)。比如在土木工程中梁柱計算中出現(xiàn)的平截面假定、小應(yīng)變假定、理想塑性假定。這些假定其實是和實際工程問題有很大偏差的,而且一旦工程問題稍微復(fù)雜一些我們就不能直接得到解析解,或者解析解的答案誤差過大。而有限元法把復(fù)雜的整體結(jié)構(gòu)離散到有限個單元(Finite Element),再把這種理想化的假定和力學(xué)控制方程施加于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的每一個單元,然后通過單元分析組裝得到結(jié)構(gòu)總剛度方程,再通過邊界條件和其他約束解得結(jié)構(gòu)總反應(yīng)?？偨Y(jié)構(gòu)內(nèi)部每個單元的反應(yīng)可以隨后通過總反應(yīng)的一一映射得到,這樣就可以避免直接建立復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)和數(shù)學(xué)模型了。其總過程可以描述為:

總結(jié)構(gòu)離散化 — 單元力學(xué)分析 — 單元組裝 — 總結(jié)構(gòu)分析 — 施加邊界條件 — 得到結(jié)構(gòu)總反應(yīng) — 結(jié)構(gòu)內(nèi)部某單元的反應(yīng)分析

在進(jìn)行單元分析和單元內(nèi)部反應(yīng)分析的時候,形函數(shù)插值(shape function interpolation)和 高斯數(shù)值積分(Gaussian Quadrature)被用來近似表達(dá)單元內(nèi)部任意一點的反應(yīng),這就是有限元數(shù)值近似的重要體現(xiàn)。一般來說,形函數(shù)階數(shù)越高,近似精度也就越高,但其要求的單元控制點數(shù)量和高斯積分點數(shù)量也更多。另外單元劃分的越精細(xì),其近似結(jié)果也更加精確。但是以上兩種提高有限元精度的代價就是計算量幾何倍數(shù)增加。

為了提高數(shù)值近似精度同時盡量較少地提高計算量,有限元法經(jīng)歷了很多發(fā)展和改良。下圖就是一典型的有限元問題,因為模型中間空洞部分幾何不規(guī)則性,結(jié)構(gòu)用有限三角單元劃分。由于在靠外區(qū)域,結(jié)構(gòu)反應(yīng)變化程度不是很大,因此劃分的單元比較大和粗糙,而在內(nèi)部,應(yīng)力變化比較大,劃分也比較精細(xì)。而在左邊單元劃分最密區(qū)域,有應(yīng)力集中現(xiàn)象(如裂紋問題的奇異解現(xiàn)象),所以又有相應(yīng)的高級理論(比如non-local theory)來指導(dǎo)這部分的單元應(yīng)力應(yīng)變計算。結(jié)構(gòu)被選擇性地離散,和高級理論構(gòu)成了有限元發(fā)展的主要研究方向。

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2離散化

離散化和相應(yīng)單元特性和收斂研究也是有限元中一個重要研究領(lǐng)域,總的來說,有限單元和他們組裝成的總體結(jié)構(gòu)主要分為:

1-D 單元 (1-D element)

桿單元 (bar element) —— 桁架 (truss)

梁單元 (beam element) —— 框架 (frame)

板單元 (plate element) —— 殼體 (shell)

2-D單元 (2-D element) —— 平面應(yīng)力體(plain stress)和平面應(yīng)變體(plain strain)

三角單元 (triangle element)

四邊形單元 (quadrilateral element)

多邊形單元 (polygonal element)
3-D 單元 (3-D element) —— 立體結(jié)構(gòu) (3-D problem)

三角體 (tetrahedrons element)

立方體單元 (hexahedrons element)

多邊體單元 (polyhedrons element)

具體的分類和單元形狀見下圖

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可以看到每種單元又可以提高形函數(shù)的階數(shù)(控制點 node 數(shù)量)來提高精度。很多有限元研究也集中在這個領(lǐng)域。比如研究新的單元引用于結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)以減小數(shù)值震蕩,比如用3-D單元去模擬梁單元等等。其實理論上來說這個領(lǐng)域可以有無限可能,因為對精度和數(shù)值穩(wěn)定的追求可以是無限的。

3“光滑邊界” 和與CAD的交互問題

其實這個算不上有限元的核心思想,不過是現(xiàn)在有限元研究熱的不能再熱的領(lǐng)域了,就是Hughes提出的“NURBS”有限元法,它的原理是用空間樣條曲線來劃分單元。如第一幅圖所示,傳統(tǒng)的有限元在處理不規(guī)則邊界的時候一般都是較多的單元和用三角單元,多邊形單元來解決,而且單元控制點都是和單元在一個平面上。而NURBS 單元的控制點脫離了單元本身,并且利用B-spline理論上可以把單元的光滑程度(continuity)提高到無限,而且不會顯著提高計算量。

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發(fā)展NURBS的另外一個好處是,在建模中常用的CAD軟件是用B-spline來進(jìn)行模型建立基礎(chǔ)的,而NURBS 正好也是用用B-spline作為basis。所以CAD和NURBS的交互可以非常簡單和高效的,甚至可以說是無縫連接。因此在工業(yè)界中十分復(fù)雜的模型都可以用CAD進(jìn)行建模,再用NURBS進(jìn)行有限元計算,如下圖?，F(xiàn)在成噸的有限元paper都來自這個領(lǐng)域,因為有限元的基本理論基本已經(jīng)成熟和robust,利用高性能計算機進(jìn)行大尺度(large-scale)和高復(fù)雜結(jié)構(gòu)模擬也是有限元發(fā)展的一個主要方向。

另外,需要提到一點的是,沒有高性能計算機技術(shù)的大力發(fā)展,就不可能有有限元的發(fā)展。有限元的理論最早是出現(xiàn)在1960年代,直到1970之后才隨著計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展。而現(xiàn)在發(fā)展迅速的計算力學(xué)也是得益于高性能計算機的發(fā)展。可能當(dāng)某一天計算機處理速度可以強大到我們可以用最復(fù)雜,最密集的單元完美快速地模擬任意結(jié)構(gòu),我們也不用再操心精度問題了。所以我覺得有限元的核心還需要加上計算機技術(shù)的發(fā)展吧。

感謝原作者的付出

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