麥克斯韋方程和規(guī)范理論的概念起源

麥克斯韋意識到他在前兩篇論文中提到的位移電流的概念和光的電磁波屬性的概念是極為重要的發(fā)現(xiàn)。所以他在第三篇論文再次歸納了這兩個概念的數(shù)學描述?？墒谴藭r,似乎麥克斯韋本人也意識到“渦旋”概念的不合理,所以在這篇論文中,他再也沒有試圖用“渦旋”來解釋電磁現(xiàn)象。因此我們可以合理地假設(shè),在1865年,麥克斯韋已經(jīng)不再認為“渦旋”模型是一個必不可少的解釋電磁現(xiàn)象的概念。不過當時他仍然堅持“必須存在一種以太介質(zhì),它無處不在并且可以滲透物體?！?

1886年,赫茲((Heinrich Hertz,1857—1894)用實驗證明電磁波的存在,用他設(shè)計的電路成功地發(fā)射、接受到了電磁波。

在十九世紀80年代,亥賽維(Oliver Heaviside,1890—1925)和赫茲分別發(fā)現(xiàn)可以去掉麥克斯韋方程中的磁矢量勢A。這一簡化使麥克斯韋方程更好地展現(xiàn)電與磁的對稱之美。當然我們今天知道,在量子力學的框架中,不能去掉磁矢量勢A,因其可在阿哈羅諾夫—玻姆(Aharonov-Bohm) 效應中被觀測到。

二十世紀場論的發(fā)展起源于愛因斯坦于1905年提出的狹義相對論。愛因斯坦從概念上摒棄了困擾理論物理界多年而且并不正確的“以太”,并提出電磁波本身就是一種看得見摸得著的介質(zhì)。真正的真空指無實體粒子、亦無電磁場的時空。真空概念的提出解決了1887年由邁克耳遜-莫雷實驗(Michelson-Morley)而引出的物理疑團。當時這一實驗的目的是尋找“以太”,但以失敗告終。可是,當今物理學界認為,愛因斯坦之所以提出真空的概念并不是為了解釋邁克耳遜-莫雷實驗,而是為了正確地解釋物理中“同時性”這一基本概念。

從1930年到1932年,隨著實驗物理學家發(fā)現(xiàn)質(zhì)子,科學家廣泛采納狄拉克提出的“真空是由無限負能量的粒子組成”的概念,并最終演變成名為“量子電動力學”的重要理論。20世紀30年代,量子電動力學在低級近似計算中取得成功,但卻由于其中存在對“無窮大”的定義,使得其在高級近似計算中并不成功。

1947年—1950年,隨著一系列理論和實驗物理學的突破,量子電動力學在被進行重整化修正后成為當時最為精確的計算粒子物理電磁性質(zhì)的理論。最新的報道顯示,利用量子電動力學計算的電子反常磁矩與實驗值的偏差只有十億分之一((文獻[3],Quick Study by Gerald Gabrieslse, Physics Today, Dec 2013, p64)。

隨著重整化方法在量子電動力學中的成功,以及眾多新的基本粒子的發(fā)現(xiàn),物理學界開始通過拓展場論的方法來解釋粒子之間的相互作用。雖然那個時代物理界發(fā)表了大量的研究成果,但均未能推動根本性地理解粒子間的相互作用。那一時期的熱點包括,帶有矢量相互作用的標量介子理論、帶有贗矢量相互作用的贗標量介子理論等等。當時也有物理學家在場論的范疇之外試圖解釋這些相互作用,但這些努力均未產(chǎn)生突破性的進展。

從20世紀70年代開始,物理學家開始重新對場論感興趣。這其中最為重要的理論當數(shù)起源于麥克斯韋方程的“非阿貝爾”規(guī)范理論。這里的“非阿貝爾”指的是,一個群中,不同操作發(fā)生的前后順序不能夠被交換(我曾在”Einstein’s impact on theoretical physics”, Physics Today, 1980 p42一文中討論規(guī)范理論。如果讀者對更多的技術(shù)細節(jié)感興趣,可以參閱Physics Today, Mar 1982, p41)。迄今,規(guī)范理論被理論物理學界認為是解釋物質(zhì)結(jié)構(gòu)和相互作用的根基。其現(xiàn)代描述可以追溯到數(shù)學家外爾(Hermann Weyl)于1918年至1919年發(fā)表的三篇論文。其中可見,外爾深受愛因斯坦對電磁場幾何性的啟發(fā)。(文獻[4])。

外爾的理論完全基于他對平行位移重要性的深刻理解。他說:“黎曼幾何的發(fā)展如果要符合于自然界的規(guī)律,那么必須基于矢量的無限小位移?！蓖鉅栠M一步考慮,如果在矢量的無限小位移中它的方向發(fā)生改變,那么為什么其長度不能發(fā)生改變?因此外爾提出了不可積的伸縮因子的概念,并且通過下面的方程成功地與電磁場聯(lián)系起來:

這里Aμ是一個四維矢量勢,而系數(shù)γ為實數(shù)。外爾將伸縮因子賦予給每個帶電物體在時空中的運動。愛因斯坦批評外爾在三篇論文中的第二篇里提出的位移的長度改變的概念。當時,外爾并不能合理回答愛因斯坦的批評。

隨著1925年—1926年的量子力學的發(fā)展,福克(Vladimir Fock)和倫敦(Fritz London)分別指出在新的量子力學體系中,傳統(tǒng)的(p-eA)應該被改寫成:

與方程5相比,eAμdxμ/γ被ieAμdxμ/?取代,也就是說γ被-i?取代。

外爾顯然接受了γ應該是虛數(shù)的概念。他于1929年發(fā)表了一篇重要論文,定義了量子電動力學中的規(guī)范變換,并且證明在這種變換下麥克斯韋方程在量子力學中是不變的。

在規(guī)范變換下,外爾定義的伸縮因子可以被改寫成:

很明顯,從方程7我們可以看出,這個因子實際上是一個相位變化因子。這一改變,也讓愛因斯坦早先的批評不辯自破。

1905年—1907年,分別發(fā)現(xiàn)洛倫茲不變量的愛因斯坦和明科夫斯基(Herman Minkowski)最早發(fā)現(xiàn)蘊含在麥克斯韋方程中的高度對稱性。外爾于1929年發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程在規(guī)范變換下的不變性,揭示了麥克斯韋方程的另一個重要對稱性。今天,我們意識到麥克斯韋方程中的對稱性正是當代物理學的基石。

外爾的規(guī)范變換涉及一種理論界名為U(1)的在復數(shù)空間中的幾何轉(zhuǎn)動 ——這一轉(zhuǎn)動與之前麥克斯韋所提出的“渦旋”的概念有驚人的相似。從數(shù)學上來說,方程7中的相位因子形成了一個名為U(1)的李群,而李群正是外爾最為感興趣的研究方向之一。更進一步,對于那些更為專業(yè)的讀者,一種名為“纖維叢”的理論在1929年之前就已經(jīng)發(fā)展成型。然而,外爾當時并沒有意識到電磁現(xiàn)象本身就是一種U(1)束理論,并且本該能夠在1929年將它推廣成非阿貝爾規(guī)范理論。

事實上,這一推廣發(fā)生在1954年,引發(fā)這一推廣的并非數(shù)學,而是因為當時粒子物理學界不斷發(fā)現(xiàn)新的粒子,所以他們急需一種理論來解釋不同粒子的相互作用。這種強烈的需求在以下一段發(fā)表于1954年的摘要中有清楚的體現(xiàn):

“電荷是電磁場的起源。這一現(xiàn)象中的重要概念是規(guī)范不變量,而規(guī)范不變量與以下幾個方面相關(guān)(1)描述電磁場運動的方程,(2)電流密度,(3)帶電的場與電磁場之間的相互作用。我們曾試圖通過擴展規(guī)范不變量的概念來解釋同位旋守恒?！? (文獻[5])

這一推廣產(chǎn)生的非阿貝爾場論在數(shù)學上極為完美,但卻多年無法得到物理學家們的認可。這是因為,這一理論要求存在一種不具有質(zhì)量但卻帶電荷的粒子。

隨后為了給非阿貝爾場論中的無質(zhì)量粒子賦予質(zhì)量,理論物理學界于上世紀60年代引入了自發(fā)對稱破缺的概念。這一概念最終產(chǎn)生了一系列重要的理論突破,包括利用U(1)xSU(2)xSU(3)規(guī)范來統(tǒng)一弱相互作用、電磁相互作用和強相互作用的標準化模型。從1960年開始,國際理論和實驗物理學界逐步對標準化模型進行驗證。其中最為引人注目的當屬2012年在CERN發(fā)現(xiàn)的上帝粒子——“希格斯玻色子”。有數(shù)千名物理學家參與這一實驗(Physics Today, Sep 2012, p12)。

盡管標準化模型取得了驚人的成就,但它并非最終的理論。首先,這個理論包含眾多人為添加的常數(shù)。更重要的是,其基礎(chǔ)——對稱破缺機制僅僅是一種唯象的概念。費米對beta衰減的“四勢相互作用”的解釋從1934年開始主導理論界達40年(文獻[6]),它最終還是被更加深刻的基于U(1)xSU(2)規(guī)范的弱電統(tǒng)一理論所取代。

規(guī)范自由度早在十九世紀50年代就被麥克斯韋和湯姆森所意識到。甚至可能更早法拉第已憑借自己的物理直覺注意到這一現(xiàn)象。最終,數(shù)學家外爾于1929年將麥克斯韋方程中的規(guī)范自由度與量子力學統(tǒng)一起來,并為當今規(guī)范化模型奠定了基礎(chǔ)。

麥克斯韋方程是線性的。在非阿貝爾規(guī)范理論中,方程是非線性的。這種非線性從概念上來說與廣義相對論中的非線性具有相同的來源。關(guān)于廣義相對論中的非線性問題,愛因斯坦曾說:

“我們僅僅考慮純引力場的數(shù)學表達。

這些方程的奇特性一方面在于其復雜形式,尤其是其場量和微分的非線性。另一方面,這一復雜性又是極為必要的,因為是變換群決定了場論的復雜性。(文獻7,p75)。

因此,真正的理論必然是非線性的(文獻7,p89)。”

二十世紀前半葉,數(shù)學家們完全獨立地提出了名為“纖維叢”的理論。這一理論有眾多源頭,包括卡坦(élie Cartan)的微分形式、豪泰林(Harold Hotelling)的統(tǒng)計學、惠特尼(Hassler Whitney)的拓撲學、陳省身的整體微分幾何、埃爾斯曼(Charles Ehresmann)的聯(lián)絡(luò)理論。如此多樣的起源表明纖維叢理論是當時數(shù)學發(fā)展的核心。

在二十世紀70年代,物理學家和數(shù)學家驚訝地發(fā)現(xiàn)阿貝爾和非阿貝爾規(guī)范理論均與纖維叢理論不謀而合(文獻[8])。當然,大家樂于接受這一發(fā)現(xiàn),因為它生動地詮釋了數(shù)學與物理的緊密聯(lián)系。這一聯(lián)系曾在二十世紀中葉,由于理論數(shù)學的不斷抽象化而被短暫地中斷。

在1975年,在我的數(shù)學同事賽蒙斯(James Simons)發(fā)現(xiàn)纖維叢理論并非必要時,我拿出一篇狄拉克于1931年發(fā)表的討論磁單極子的論文給他看。他驚訝道:“原來狄拉克在數(shù)學家之前就發(fā)現(xiàn)了平凡和不平凡的纖維叢的概念。”

最后我想以一段麥克斯韋發(fā)表于1867年對法拉第去世的悼詞來結(jié)束我們的歷史回顧。麥克斯韋寫道:

“法拉第使用假想力線的方法來解釋電磁感應,說明他實際上是一位具有高度智慧的數(shù)學家”;

“從歐幾里德的直線到法拉第的力線,這一切說明了動態(tài)和幾何的思維不斷推動科學的發(fā)展與進步”;

“以今天收集到的科學證據(jù)為基礎(chǔ),也許下一位如法拉第般偉大的哲學家能發(fā)展出全新的科學,而我們今天很可能對此一無所知”。

文獻:

1. F. A. J. L. James, ed., The Correspondence of Michael Faraday,Vol. 1, Institution of Electrical Engineers (1991),p. 287.

2. J. Larmor, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 695 (1936),p. 697.

3. T. Kinoshita, in Proceedings of the Conference in Honour ofthe 90th Birthday of Freeman Dyson, K. K. Phua et al.,eds., World Scientific (2014), p. 148.

4. For this and the ensuing history, see C. N. Yang, in HermannWeyl, 1885–1985: Centenary Lectures, K. Chandrasekharan,ed., Springer (1986), p. 7; and A. C. T. Wu,C. N. Yang, Int. J. Mod. Phys. A 21,3235 (2006).

5. C. N. Yang, R. Mills, Phys. Rev. 95, 631 (1954).

6. An English translation of Fermi’s original paper isavailable in F. L. Wilson, Am. J. Phys. 36, 1150 (1968).

7. P. A. Schilpp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist,Open Court (1949). The two passages are English translationsof Einstein’s autobiographical notes written in1946 when Einstein was 67 years old.

8. T. T. Wu, C. N. Yang, Phys. Rev. D 12, 3845 (1975).

英文版發(fā)表于Physics Today(2014年11 月,45—51 頁),《賽先生》中文版由胡凌志(華盛頓大學理學博士,飛利浦電子北美研發(fā)中心分子影像科學家)翻譯。攝影:李曉明。

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