時(shí)域有限差分與頻域有限元算法淺析

2016-10-31 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

以天線的設(shè)計(jì)為例,天線設(shè)計(jì)離不開理論分析、數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證測試三種手段。隨著高速計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,計(jì)算電磁學(xué)已成為一門新興的重要學(xué)科,它的發(fā)展將天線設(shè)計(jì)推進(jìn)了一個(gè)新的階段。計(jì)算電磁學(xué)從求解域來說看,有時(shí)域和頻域,從求解的精確度可分為數(shù)值算法和高頻近似的算法。在天線問題中常用的算法有:矩量法(MOM)、有限元法(FEM)和時(shí)域有限差分法(FDTD),數(shù)值方法的基本原理就是把連續(xù)變量函數(shù)離散化,從而建立起收斂的代數(shù)方程組,然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。本文從中選取兩個(gè)典型的算法:時(shí)域有限差分(FDTD)和頻域有限元算法(FEM),并對其進(jìn)行介紹分析。

目前采用時(shí)域有限差分算法的商用軟件有CST、XFDTD等。此算法是將麥克斯韋旋度方程的偏微分形式出發(fā),直接在時(shí)域進(jìn)行差分離散得到。

在各向同性線性媒質(zhì)中,麥克斯韋方程組旋度方程的微分形式為:

算法將空間按立方體進(jìn)行剖分電場磁場交替排列,如下圖:

電場和磁場在空間交替排列,電磁場的6個(gè)分量在空間的取樣點(diǎn)分布在立方體的邊沿和表面中心點(diǎn)上。電場和磁場分離在任何分量上始終相差兩個(gè)步長。在時(shí)間上電場分量和磁場分量也差半個(gè)步長取一樣。

在上述算法中,時(shí)間增量Δt和空間增量Δx,Δy和Δz不是相互獨(dú)立的,他們的取值需要滿足一定的條件,即:

這就是此算法需要滿足的Courant穩(wěn)定性條件。

在此條件下差分方程的數(shù)值解與原偏微分方程的嚴(yán)格解之間的差有界,否則,計(jì)算結(jié)果將隨著時(shí)間步長無限制的寄生增長。除此之外,時(shí)域差分算法在對麥克斯韋方程組數(shù)值計(jì)算還會在網(wǎng)格中引起,相速度隨頻率變化,色散現(xiàn)象,導(dǎo)致色散誤差。如果在模擬空間中采用大小不同的網(wǎng)格或包含不同的介質(zhì)區(qū)域,這時(shí)網(wǎng)格尺寸與波長之比將是位置的函數(shù),在不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞射和反射現(xiàn)象,對此也應(yīng)該進(jìn)行定量的研究,以保證正確估計(jì)FDTD算法的精度。此誤差除了與頻率和網(wǎng)格大小、時(shí)間步長有關(guān),還與波的傳播方向有關(guān),具有各向異性。減小網(wǎng)格數(shù)目可以有效減小色散誤差。

以HFSS為代表的商用軟件采用了頻域有限元算法(FEM),與時(shí)域有限差分算法不同,有限元算法采用四面體元。

HFSS中的三種基函數(shù)

它的優(yōu)點(diǎn)是適用于具有復(fù)雜邊界形狀或邊界條件、含有復(fù)雜媒質(zhì)的定解問題。這種方法的各個(gè)環(huán)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化,得到通用的計(jì)算程序,而且有較高的計(jì)算精度。HFSS采用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分和加密技術(shù)相對來說有效提高了軟件的計(jì)算效率,自適應(yīng)網(wǎng)格剖分根據(jù)對場量分布求解后的結(jié)果對網(wǎng)格進(jìn)行增加剖分密度的調(diào)整,在網(wǎng)格密集區(qū)采用高階插值函數(shù),以進(jìn)一步提高精度,在場域分布變化劇烈區(qū)域,進(jìn)行多次加密。和時(shí)域差分算法相比,有限元算法不需要工程師的先驗(yàn)知識就能較為準(zhǔn)確的得出仿真結(jié)果,而且在PCB的仿真中,由于阻抗不匹配導(dǎo)致振鈴時(shí),頻域算法更為合適。

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