咖啡杯里的電磁學：從渦旋到電與光的起源

2016-11-22  by:CAE仿真在線  來源:互聯網

(一)經典渦旋的動力學

渦旋是一種在流體中常見的運動形式,它指的是在一定范圍內流體圍繞渦旋中心做持續(xù)性的旋轉流動。渦旋廣泛地出現在各種尺度上,包括木星上的氣旋和咖啡杯里的漩渦。

圖1 木星上的渦旋和咖啡杯里的渦旋

由于渦旋可以在流體中維持一段時間,我們可以把它看成一種有限壽命的粒子。我們可以在咖啡杯里制造渦旋:用匙子在杯中劃過,往往就會在尾流上激發(fā)兩個反向旋轉的渦旋。如果找一個閑暇的下午,坐在咖啡廳里觀察一下渦旋的世界,就會發(fā)現以下一些有趣的物理:(1) 渦旋按照其旋轉方向可以分為正渦旋(逆時針旋轉)和負渦旋(順時針旋轉)兩種,就好像兩種電量相反的電荷一樣。 (2) 一個孤立的渦旋總是隨著背景流體一起流動,沒有慣性。也就是說,渦旋是無質量的。(3)一對反向旋轉的渦旋總是束縛在一起平行運動(比如匙子后面的兩個渦旋會一起脫離匙子,并順著尾流運動)。正負渦旋可以互相湮滅,并釋放旋轉的能量(一般是通過粘滯耗散掉了)。這種行為有點類似于由一對正反夸克在一起構成了介子,當正反夸克對相互湮滅以后,介子就衰變成了光(釋放能量)。

圖2 咖啡匙劃過后激發(fā)一對正反渦旋對,及其受力分析

渦旋的這些特點暗示我們可以把渦旋類比為某種攜帶“電荷”的粒子。這里所謂的電荷,就是渦旋量,它衡量渦旋的旋轉程度的大小,并正比于流速場在包圍渦旋的環(huán)路上的線積分:

這個定義與靜電學中電荷的高斯定理非常相似,都明顯地帶有拓撲的風格:也就是說環(huán)路可以形變,但只要不掃過渦旋,渦旋量就不會有差別。這種拓撲的定義也表明渦旋也是全局的概念:盡管渦旋的中心可以看成點狀的粒子,但渦旋的意義卻蘊于中心以外的環(huán)流的流動樣式之中。

如果說渦旋是一種演生的電荷,那么渦旋之間是否也像電荷一樣同性相斥、異性相吸呢?答案是肯定的,同號渦旋之間確實存在類似于靜電作用的斥力,而相反渦旋之間則表現為引力。這個演生的靜電作用源于流體的伯努利原理:同一條流線上,流速大的地方壓強小。

圖3 一對渦旋附近的流速場

對于一對同號的渦旋,流速大的地方在渦旋的外側,因此渦旋受到的壓力向外;而對于一對異號的渦旋,流速大的部分在渦旋之間,因此渦旋受到的壓力向內。只不過渦旋之間的這種靜電力并不遵從我們熟知的平方反比律,而是遵循一次方反比律。這是二維與三維世界的一個重要差別。因為渦旋生活在二維的世界里,演生的電場線也只能在兩個空間維度上散開,這樣電場強度就不會衰減得像在三維空間中那么快,結果就得到一次方反比的靜電作用。因此,我們看到渦旋不但可以看作演生的電荷,而且它們之間的相互作用也滿足二維世界的庫侖定律。

如果兩個相反渦旋之間具有所謂的靜電吸引,那么它們?yōu)槭裁床幌耠p星一樣相互繞轉呢?這是因為除了演生的電力,渦旋還受到演生的磁力。也就是說,當渦旋在流體中運動的時候,會受到垂直于運動方向的偏轉力。它的起源與香蕉球的原理相同(旋轉的球周圍也存在渦旋,從而導致球的軌跡偏離直線),其效果就像電荷在均勻磁場中運動會受到洛倫茲力一樣。所以對于渦旋來說,流體背景就像一個均勻的磁場一樣,其磁場強度正比于流體的密度。當作用在渦旋上的演生電場力和演生磁場力平衡的時候,就出現了我們看到的咖啡杯里一對相反渦旋在一起平行運動的現象(見上文圖中的受力分析)。

我們看到電場和磁場都出現了,那么會出現電磁波嗎?答案仍然是肯定的。如果把渦旋視為演生的電荷,那么演生的電磁波就是流體中的聲波(密度波)?？梢宰C明在二維空間中,電磁波的麥克斯韋方程與聲波的歐拉方程在形式上是完全對偶的。只不過與我們熟知的三維空間有所不同的是,電磁波在二維空間內只有一個橫波模式(光在二維只有一個垂直于傳播方向的偏振方向),而這一波動模式正好對應于聲波在流體中唯一的縱波模式。電動力學中的電磁感應就等價于流體力學中的流守恒方程:電磁波中電場和磁場交互激發(fā)的過程,相當于是流體中流動(電場)導致密度積累(磁場),而密度積累(磁場)又驅動新的流動(電場)這樣的過程。綜上所述,我們可以建立如下類比關系:

渦旋動力學 = 電動力學

渦旋 = 電荷

流體密度 = 磁場

流體速度 = 電場

聲波 = 電磁波

通過以上的討論,我們顯示了(二維空間內)渦旋在流體中的行為就像電荷在電磁場中的行為一樣。渦旋其實就是電荷演生的一種最簡單的模型,而流體扮演的角色就像人們曾經構想的以太一樣:光的媒介。

(二)量子流體與量子渦旋

現在,我們需要從經典走向量子。因為在現實世界中,電荷往往是量子化的,也就是說存在最小的單位電荷(比如電子電荷)。為了從渦旋的角度來理解這件事情,我們需要涉及一點點量子力學。量子力學的基本原理就是波粒二象性:波動可以視作粒子,而粒子都有波動的行為。這里的波動是一種波函數相位隨空間變化的運動形式,而量子力學將這種相位的變化與粒子的動量聯系在一起:動量 = 平移單位距離所積累的相位。而對于構成流體微觀自由度來說,它們的速度與動量成比例,因此也就與相位的空間梯度成比例,可以表達為。也就是說,在量子流體中,每個渦旋的背后實際上是一個圍繞渦旋中心旋轉而改變的相位分布。

圖4 量子流體的流速與相位梯度成正比(不同背景顏色代表不同的相位)

由于波函數的單值性(也就是說一個點只能有唯一確定的波函數取值),這就要求流體環(huán)繞一周以后相位只能相差的整數倍(因為
表示相位轉過一周,波函數恢復原來的取值),也就是說渦旋量只能是一個基本單位的整數倍。這個最小單位就是環(huán)繞一圈相位改變一周的渦旋,稱為量子渦旋。量子渦旋是量子流體波函數的拓撲奇異點,圍繞這些奇異點,波函數的相位將有一個周期的改變。在量子流體中,渦旋只能一個一個單位地激發(fā),而比量子渦旋更小的渦旋將導致波函數的出現割線而不被量子力學所允許。按照我們之前所做的類比,渦旋量代表演生的電荷量,那么量子渦旋就提供了關于電荷量子化的一種自然的理解:如果渦旋必須一個一個激發(fā),那么電荷也是一樣的。這就在某種程度上解釋了電荷存在基本單位的量子力學原因(至少對二維空間的情形而言)。

量子渦旋的中心是由整個背景的相位分布的圖樣決定的,也就是說關于渦旋在哪里的信息實際上是散布在整個量子流體的背景中的。這是一個令人驚訝的觀念,也就是說粒子的定義不來自于自身而來自于整個真空的集體作用。這正反映了還原論和演生論兩種不同思路的對比。在還原論的觀念中,真空只不過是舞臺,而粒子才是舞臺上的主角;而在演生論的觀念看來,真空不但積極地參與了粒子建構,而且實際上決定了粒子的行為。而粒子本身的意義反而變得模糊,或者說粒子只是作為真空的運動模式的物化體現。而這種運動模式的具體規(guī)律則由真空的序(組織方式)決定,這也就是凝聚態(tài)物理的核心觀念:序決定激發(fā),真空決定粒子。

(三)奇異弦與弦網凝聚

為了更加明確地看出量子渦旋的非局域本質,我們需要提取量子流體相位分布背后所隱含的結構。下圖顯示了包含有許多量子渦旋的相位分布,其中以+/-標記渦旋的符號。

圖5 相位分布中的奇異弦結構

我們將所有的零相位線標出,并且以箭頭標明方向(從正渦旋發(fā)出而收于負渦旋)。可以看到這些線總是連接一對正負渦旋(或者延伸到無限遠去),它們就是量子渦旋之間看不見的奇異弦。在奇異弦的刻畫下,原先光怪陸離的相位分布背后的結構立刻變得清晰明了:每次跨過奇異弦,相位就變化一周,至于是增加還是減少取決于奇異弦的方向與跨越方向之間是右手還是左手關系。在這個圖像下,量子渦旋獲得了一個更加深刻的含義:它們是奇異弦的末端!隱藏在相位結構中的奇異弦明確地表達出了渦旋的非局域本質:它們是量子流體的拓撲激發(fā)。

將粒子理解為開弦的末端,這種思路始于超弦理論,并且產生了深遠的影響:物理學不再局限于對點狀對象(粒子)的研究,而是拓展到了線、面等更加高維的延展幾何對象(比如弦、膜等)。而從量子渦旋到奇異弦的這一拓展并不僅僅是理論家的一種數學游戲,它代表了從“面向對象”的物理學到“面向關系”的物理學這樣一種風格上的轉變。在面向對象的物理學中,我們關注的是流體中看得見的一個個渦旋;而在面向關系的物理學中,我們強調的是渦旋之間的一種看不見的關系(奇異弦),而且更進一步,我們甚至可以而且應該用這個關系來定義渦旋。也就是說,渦旋是作為奇異弦的末端存在的!是奇異弦的關系定義了渦旋的意義。

對于由渦旋演生電荷來說,奇異弦就相當于演生的電場線:電荷是作為電場線的末端而存在的。量子化的電場線就給出量子化的電荷。這些電場線在量子漲落的作用下,不斷地在空間中扭動變形,而且真空中也充滿了漲落的電場線閉弦,這種狀態(tài)被稱為弦網凝聚,對應于我們熟知的解禁閉的電動力學。漲落的電場線同時也傳遞了電荷之間的相互作用,這等價于在量子場論中由光子傳遞的電磁相互作用,因此電場線的漲落模式就是演生的光子。研究還表明,電荷的費米統計也可以由弦網凝聚自然地給出,從而得到演生的電子。如果假定我們的真空是弦網凝聚體,那么電子和光子就有一種很簡單的圖像:光子是弦的震蕩,而電子則是弦的末端。這樣看來,宇宙的圖景就像一鍋巨大的面湯,充滿了流動的面條。我想飛面神教(Flying Spaghetti Monster)的信眾們也許會很欣賞這樣的看法。

量子電動力學與(量子)弦論的這種等價關系被稱為規(guī)范-弦對偶。而另一方面,某些弦論的經典動力學自然地是引力理論,或者說是關于時空幾何的動力學理論,就像廣義相對論一樣。這實際上就建立了規(guī)范理論和引力理論的一種對應關系,比如AdS/CFT全息對偶就是一個廣為人知的例子。特別是最近幾年來,類似的全息對偶關系在凝聚態(tài)物理領域也激起了廣泛的興趣。人們希望借助AdS空間的引力理論,來理解其邊界上強耦合的量子多體系統?；蛘叻催^來從邊界上的量子糾纏結構,來考察時空幾何的演生。在歷史上,高能物理曾經多次與凝聚態(tài)物理攜手共進,每一次都取得了輝煌的成就,比如對稱自發(fā)破缺以及重整化群理論的發(fā)展,那么在今天蓬勃興起的關于全息對偶的研究會不會是他們第三次成功的合作呢?讓我們拭目以待。

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